Номер 19.6, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.6. Углом какой четверти является угол α, если:

1) α = $\frac{5\pi}{3}$;

2) α = $\frac{9\pi}{4}$;

3) α = $\frac{16\pi}{5}$;

4) α = $\frac{17\pi}{6}$?

1) Для угла $\alpha = \frac{5\pi}{3}$:

Данный угол находится в промежутке от $0$ до $2\pi$. Чтобы определить его четверть, сравним его с границами четвертей. Для удобства сравнения, приведем дроби к общему знаменателю 6.

Угол $\alpha = \frac{5\pi}{3} = \frac{10\pi}{6}$. Границы III и IV четвертей: $\pi = \frac{6\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$, $2\pi = \frac{12\pi}{6}$.

Так как выполняется неравенство $\frac{9\pi}{6} < \frac{10\pi}{6} < \frac{12\pi}{6}$, то есть $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

Следовательно, угол $\alpha = \frac{5\pi}{3}$ находится в IV четверти.

Ответ: IV четверть.

2) Для угла $\alpha = \frac{9\pi}{4}$:

Этот угол больше $2\pi$, так как $2\pi = \frac{8\pi}{4}$. Чтобы найти четверть, найдем эквивалентный угол в промежутке $[0, 2\pi)$, вычтя полный оборот ($2\pi$):

$\alpha' = \frac{9\pi}{4} - 2\pi = \frac{9\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

Поскольку $0 < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$, угол находится в I четверти.

Ответ: I четверть.

3) Для угла $\alpha = \frac{16\pi}{5}$:

Этот угол больше $2\pi$, так как $2\pi = \frac{10\pi}{5}$. Найдем эквивалентный угол в промежутке $[0, 2\pi)$:

$\alpha' = \frac{16\pi}{5} - 2\pi = \frac{16\pi}{5} - \frac{10\pi}{5} = \frac{6\pi}{5}$.

Теперь сравним полученный угол $\frac{6\pi}{5}$ с границами III четверти: $\pi$ и $\frac{3\pi}{2}$.

Неравенство $\pi < \frac{6\pi}{5} < \frac{3\pi}{2}$ верно, так как $1 < \frac{6}{5} < \frac{3}{2}$ (то есть $1 < 1.2 < 1.5$).

Следовательно, угол находится в III четверти.

Ответ: III четверть.

4) Для угла $\alpha = \frac{17\pi}{6}$:

Этот угол больше $2\pi$, так как $2\pi = \frac{12\pi}{6}$. Найдем эквивалентный угол в промежутке $[0, 2\pi)$:

$\alpha' = \frac{17\pi}{6} - 2\pi = \frac{17\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Сравним полученный угол $\frac{5\pi}{6}$ с границами II четверти: $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$.

Неравенство $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$ верно, так как $\frac{1}{2} < \frac{5}{6} < 1$ (то есть $0.5 < 0.833... < 1$).

Следовательно, угол находится во II четверти.

Ответ: II четверть.