Вопросы, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Какие углы считаются положительными, какие — отрицательными?

2. В каких единицах измеряют углы?

3. Как перевести радианную меру угла в градусную и наоборот?

1. Какие углы считаются положительными, какие — отрицательными?

В математике и физике знак угла определяется направлением поворота. За начало отсчета обычно принимают положительное направление оси абсцисс (оси Ox) в декартовой системе координат. Угол образуется поворотом луча из этого начального положения.

• Положительными считаются углы, образованные поворотом луча против часовой стрелки.

• Отрицательными считаются углы, образованные поворотом луча по часовой стрелке.

Например, угол $90^\circ$ означает поворот против часовой стрелки на четверть окружности, в то время как угол $-90^\circ$ означает такой же по величине поворот, но по часовой стрелке. Стоит отметить, что положение луча при повороте на угол $\alpha$ и на угол $\alpha + 360^\circ \times k$ (где $k$ — любое целое число) будет одинаковым.

Ответ: Углы, отсчитываемые против часовой стрелки, считаются положительными, а углы, отсчитываемые по часовой стрелке, — отрицательными.

2. В каких единицах измеряют углы?

Существуют две основные единицы измерения углов: градусы и радианы.

• Градусная мера. Единицей измерения является градус ($^\circ$). Он представляет собой $1/360$ часть полного оборота. Таким образом, полный угол равен $360^\circ$, развернутый угол — $180^\circ$, а прямой — $90^\circ$. Для более точных измерений градус делят на 60 минут ($1^\circ = 60'$), а минуту — на 60 секунд ($1' = 60''$). Градусная мера широко применяется в геометрии, астрономии и геодезии.

• Радианная мера. Единицей измерения является радиан (рад). Один радиан — это величина центрального угла, опирающегося на дугу окружности, длина которой равна ее радиусу. Поскольку длина окружности равна $2\pi R$, полный угол содержит $2\pi$ радиан. Радианная мера является основной в высшей математике (в частности, в тригонометрии и математическом анализе) и физике, так как многие формулы (например, производные тригонометрических функций) имеют более простой вид при использовании радиан.

Ответ: Основными единицами измерения углов являются градусы и радианы.

3. Как перевести радианную меру угла в градусную и наоборот?

Перевод из одной системы измерения углов в другую основан на фундаментальном соотношении, связывающем полный оборот в градусах и радианах: $360^\circ = 2\pi$ радиан. Упростив это выражение, получаем ключевое равенство для перевода:

$180^\circ = \pi \text{ радиан}$

Из этого соотношения легко получить формулы для взаимного преобразования.

Перевод из градусов в радианы

Чтобы перевести угол, измеренный в градусах, в радианы, необходимо его величину умножить на дробь $\frac{\pi}{180}$.

Формула: $\alpha_{\text{рад}} = \alpha_{^\circ} \times \frac{\pi}{180}$

Пример: Переведем $45^\circ$ в радианы.

$45^\circ \times \frac{\pi}{180} = \frac{45\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$ радиан.

Перевод из радиан в градусы

Чтобы перевести угол, измеренный в радианах, в градусы, необходимо его величину умножить на дробь $\frac{180}{\pi}$.

Формула: $\alpha_{^\circ} = \alpha_{\text{рад}} \times \frac{180}{\pi}$

Пример: Переведем угол $\frac{2\pi}{3}$ радиан в градусы.

$\frac{2\pi}{3} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{2 \times 180^\circ}{3} = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: Для перевода градусов в радианы используется формула $\alpha_{\text{рад}} = \alpha_{^\circ} \times \frac{\pi}{180}$, а для перевода радиан в градусы — формула $\alpha_{^\circ} = \alpha_{\text{рад}} \times \frac{180}{\pi}$.