Номер 16, страница 167, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16. Вычислите сумму: $ \frac{1}{5} + \frac{8}{15} + \frac{13}{15} + \dots + \frac{33}{15} $

A) 15,4;

B) 120;

C) 60,8;

D) 63,8;

E) 8,4.

Для того чтобы вычислить данную сумму, необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем для дробей $ \frac{1}{5} $ и дробей со знаменателем 15 является 15. Преобразуем первую дробь:

$ \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{3}{15} $

Теперь исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$ S = \frac{3}{15} + \frac{8}{15} + \frac{13}{15} + \dots + \frac{33}{15} $

Так как знаменатели всех дробей одинаковы, мы можем сложить их числители:

$ S = \frac{3 + 8 + 13 + \dots + 33}{15} $

Последовательность чисел в числителе $ 3, 8, 13, \dots, 33 $ является арифметической прогрессией. Найдем ее параметры:

Первый член прогрессии $ a_1 = 3 $.

Разность прогрессии $ d = 8 - 3 = 5 $.

Последний член прогрессии $ a_n = 33 $.

Чтобы найти сумму членов этой прогрессии, сначала определим их количество $ n $ по формуле n-го члена $ a_n = a_1 + (n-1)d $:

$ 33 = 3 + (n-1) \cdot 5 $

$ 33 - 3 = (n-1) \cdot 5 $

$ 30 = 5(n-1) $

$ n-1 = \frac{30}{5} = 6 $

$ n = 6 + 1 = 7 $

Таким образом, в числителе 7 слагаемых. Теперь вычислим их сумму $ S_n $ по формуле суммы арифметической прогрессии $ S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} $:

$ S_{\text{числителей}} = \frac{(3 + 33) \cdot 7}{2} = \frac{36 \cdot 7}{2} = 18 \cdot 7 = 126 $

Теперь подставим найденную сумму числителей обратно в выражение для общей суммы $ S $:

$ S = \frac{126}{15} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$ S = \frac{126 \div 3}{15 \div 3} = \frac{42}{5} $

Наконец, переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$ S = \frac{42}{5} = 8.4 $

Ответ: E) 8,4.