Страница 167, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

13. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 111, второе число больше первого в 5 раз. Найдите эти числа:

A) 10; 50; 61;

B) 8,5; 42,5; 60;

C) 9,4; 47; 54,6;

D) 8; 40; 63;

E) 7,4; 37; 66,6.

Пусть три числа, образующие арифметическую прогрессию, равны $a_1$, $a_2$ и $a_3$. Для удобства решения представим их как $a - d$, $a$ и $a + d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

Согласно первому условию, сумма этих трех чисел равна 111. Запишем это в виде уравнения:

$(a - d) + a + (a + d) = 111$

Упростим выражение, сократив $-d$ и $+d$:

$3a = 111$

Отсюда находим средний (второй) член прогрессии:

$a = \frac{111}{3} = 37$

Итак, второе число равно 37.

Согласно второму условию, второе число ($a$) в 5 раз больше первого ($a - d$):

$a = 5 \cdot (a - d)$

Подставим известное значение $a = 37$ в это уравнение:

$37 = 5 \cdot (37 - d)$

Раскроем скобки:

$37 = 185 - 5d$

Перенесем слагаемые, чтобы выразить $d$:

$5d = 185 - 37$

$5d = 148$

Теперь найдем разность прогрессии $d$:

$d = \frac{148}{5} = 29,6$

Теперь, зная средний член $a$ и разность $d$, мы можем найти все три числа:

Первое число: $a_1 = a - d = 37 - 29,6 = 7,4$

Второе число: $a_2 = a = 37$

Третье число: $a_3 = a + d = 37 + 29,6 = 66,6$

Таким образом, искомые числа: 7,4; 37; 66,6. Этот набор чисел соответствует варианту ответа E.

Ответ: E) 7,4; 37; 66,6.

14. Найдите разность арифметической прогрессии, если $a_{21} = 15$, $a_1 = 5$:

A) 1,5;

B) -1;

C) 0,5;

D) 1;

E) -0,5.

Для нахождения разности арифметической прогрессии ($d$) воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

В данной задаче нам известны следующие значения:

• Первый член прогрессии: $a_1 = 5$.

• Двадцать первый член прогрессии: $a_{21} = 15$.

• Номер члена: $n = 21$.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти $d$:

$a_{21} = a_1 + (21 - 1)d$

$15 = 5 + 20d$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $d$. Сначала перенесем 5 в левую часть уравнения:

$15 - 5 = 20d$

$10 = 20d$

Далее, разделим обе части уравнения на 20:

$d = \frac{10}{20}$

$d = 0,5$

Полученное значение разности прогрессии $d = 0,5$ соответствует варианту ответа C).

Ответ: 0,5.

15. Найдите сумму всех натуральных чисел от 2 до 102 вклю-чительно:

A) 2626;

B) 5256;

C) 4040;

D) 5252;

E) 10 504.

Для нахождения суммы всех натуральных чисел от 2 до 102 включительно, мы рассматриваем эту последовательность чисел как арифметическую прогрессию. В этой прогрессии первый член $a_1 = 2$, последний член $a_n = 102$, а разность $d = 1$.

Первым шагом является определение количества членов $n$ в прогрессии. Для этого используем формулу: $n = (\text{последний член}) - (\text{первый член}) + 1$.
$n = 102 - 2 + 1 = 101$.
Следовательно, в последовательности 101 число.

Далее, для вычисления суммы $S_n$ арифметической прогрессии, воспользуемся стандартной формулой:
$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$
Подставляем наши значения:
$S_{101} = \frac{(2 + 102) \cdot 101}{2} = \frac{104 \cdot 101}{2} = 52 \cdot 101 = 5252$.

Таким образом, сумма всех натуральных чисел от 2 до 102 включительно равна 5252. Этот результат соответствует варианту D.

Ответ: D) 5252

16. Вычислите сумму: $ \frac{1}{5} + \frac{8}{15} + \frac{13}{15} + \dots + \frac{33}{15} $

A) 15,4;

B) 120;

C) 60,8;

D) 63,8;

E) 8,4.

Для того чтобы вычислить данную сумму, необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем для дробей $ \frac{1}{5} $ и дробей со знаменателем 15 является 15. Преобразуем первую дробь:

$ \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{3}{15} $

Теперь исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$ S = \frac{3}{15} + \frac{8}{15} + \frac{13}{15} + \dots + \frac{33}{15} $

Так как знаменатели всех дробей одинаковы, мы можем сложить их числители:

$ S = \frac{3 + 8 + 13 + \dots + 33}{15} $

Последовательность чисел в числителе $ 3, 8, 13, \dots, 33 $ является арифметической прогрессией. Найдем ее параметры:

Первый член прогрессии $ a_1 = 3 $.

Разность прогрессии $ d = 8 - 3 = 5 $.

Последний член прогрессии $ a_n = 33 $.

Чтобы найти сумму членов этой прогрессии, сначала определим их количество $ n $ по формуле n-го члена $ a_n = a_1 + (n-1)d $:

$ 33 = 3 + (n-1) \cdot 5 $

$ 33 - 3 = (n-1) \cdot 5 $

$ 30 = 5(n-1) $

$ n-1 = \frac{30}{5} = 6 $

$ n = 6 + 1 = 7 $

Таким образом, в числителе 7 слагаемых. Теперь вычислим их сумму $ S_n $ по формуле суммы арифметической прогрессии $ S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} $:

$ S_{\text{числителей}} = \frac{(3 + 33) \cdot 7}{2} = \frac{36 \cdot 7}{2} = 18 \cdot 7 = 126 $

Теперь подставим найденную сумму числителей обратно в выражение для общей суммы $ S $:

$ S = \frac{126}{15} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$ S = \frac{126 \div 3}{15 \div 3} = \frac{42}{5} $

Наконец, переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$ S = \frac{42}{5} = 8.4 $

Ответ: E) 8,4.

17. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если $b_1 = 2$, $q = 0,875$:

A) 18;

B) 16;

C) 32;

D) 64;

E) 100.

Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии находят по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

где $S$ — это сумма прогрессии, $b_1$ — её первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии. Формула применима, если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

В данной задаче нам известны:

• Первый член прогрессии $b_1 = 2$.
• Знаменатель прогрессии $q = 0,875$.

Проверим условие $|q| < 1$:

$|0,875| = 0,875$. Так как $0,875 < 1$, условие выполняется, и мы можем использовать формулу для нахождения суммы.

Для удобства вычислений можно преобразовать десятичную дробь $0,875$ в обыкновенную:

$q = 0,875 = \frac{875}{1000} = \frac{7 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{7}{8}$

Теперь подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу суммы:

$S = \frac{2}{1 - \frac{7}{8}}$

Выполним вычитание в знаменателе:

$1 - \frac{7}{8} = \frac{8}{8} - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$

Теперь найдём сумму:

$S = \frac{2}{\frac{1}{8}} = 2 \cdot 8 = 16$

Таким образом, сумма данной бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 16. Этот результат соответствует варианту ответа B.

Ответ: 16.

18. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии $9; -3; 1; \dots :$

A) $6,75;$

B) $-6\frac{4}{9};$

C) $-27;$

D) $81;$

E) $\frac{1}{3}.$

Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Данная формула применима только в том случае, если модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

В заданной прогрессии $9; -3; 1; \dots$ первый член $b_1 = 9$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}$

Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$:

$|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$

Так как $\frac{1}{3} < 1$, условие выполняется, и мы можем найти сумму прогрессии.

Подставим значения $b_1=9$ и $q=-\frac{1}{3}$ в формулу суммы:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{9}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{9}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{3+1}{3}} = \frac{9}{\frac{4}{3}}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю:

$S = 9 \cdot \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$

Для сравнения с предложенными вариантами, переведем результат в десятичную дробь:

$S = \frac{27}{4} = 6,75$

Этот результат соответствует варианту ответа А).

Ответ: 6,75.

19. Дана геометрическая прогрессия $\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; ...$. Найдите $\frac{b_6}{b_4}: $

A) $\frac{3}{5}; $B) $\frac{7}{9}; $C) $\frac{5}{9}; $D) $\frac{4}{9}; $E) $\frac{2}{3}.$

Дано:

Геометрическая прогрессия $(b_n)$

Первый член прогрессии: $b_1 = \frac{1}{2}$

Второй член прогрессии: $b_2 = \frac{1}{3}$

Найти:

Отношение $\frac{b_6}{b_4}$

Решение:

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$, который равен отношению любого члена прогрессии к предыдущему. Возьмем второй и первый члены:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2}{3}$

Теперь нужно найти отношение $\frac{b_6}{b_4}$. Выразим $b_6$ и $b_4$ через формулу n-го члена:

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Теперь найдем их отношение:

$\frac{b_6}{b_4} = \frac{b_1 \cdot q^5}{b_1 \cdot q^3}$

Сокращаем $b_1$ и используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{b_6}{b_4} = q^{5-3} = q^2$

Мы уже нашли, что знаменатель $q = \frac{2}{3}$. Подставим это значение в полученное выражение:

$\frac{b_6}{b_4} = (\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$

Этот результат соответствует варианту D).

Ответ: $\frac{4}{9}$.

20. Найдите сумму членов бесконечной геометрической прогрессии

8, 4, ...:

A) 8;B) 12;C) 15;D) $ \frac{255}{16} $;E) 16.

Для нахождения суммы членов бесконечной геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — ее знаменатель. Данная формула применима только в том случае, если модуль знаменателя прогрессии меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

В представленной прогрессии 8, 4, ... первый член $b_1 = 8$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Проверим условие $|q| < 1$. В нашем случае $|q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$, что меньше 1. Следовательно, прогрессия является бесконечно убывающей, и мы можем найти ее сумму.

Подставим найденные значения $b_1$ и $q$ в формулу суммы: $S = \frac{8}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot 2 = 16$.

Ответ: 16.