Страница 166, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. ${a_n}$ – арифметическая прогрессия. Найдите $a_4$, если $a_1 = 10$, $d = -0,1$:

A) 9,7;

B) 97;

C) -97;

D) 10,3;

E) -10,3.

1. Дано:

Арифметическая прогрессия $\{a_n\}$

$a_1 = 10$

$d = -0,1$

Найти:

$a_4$

Решение:

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии используется формула:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

где $a_n$ — это n-й член прогрессии, $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — порядковый номер члена.

В данной задаче нам нужно найти четвертый член прогрессии, то есть $n=4$. Подставим известные значения ($a_1 = 10$, $d = -0,1$ и $n = 4$) в формулу:

$a_4 = a_1 + (4-1)d$

$a_4 = 10 + 3 \cdot (-0,1)$

Теперь выполним вычисления:

$a_4 = 10 - 0,3$

$a_4 = 9,7$

Таким образом, четвертый член арифметической прогрессии равен $9,7$. Этот результат соответствует варианту ответа А.

Ответ: $9,7$.

2. ${b_n}$ — геометрическая прогрессия. Найдите $b_6$, если $b_1 = 4$, $q = \frac{1}{2}$:

A) -0,125;

B) 0,125;

C) 1,25;

D) 12,5;

E) -1,25.

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — номер искомого члена.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

Первый член прогрессии $b_1 = 4$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

Требуется найти шестой член прогрессии, то есть $b_6$ (при $n=6$).

Подставим известные значения в формулу:

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5$

Сначала вычислим степень знаменателя:

$\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1^5}{2^5} = \frac{1}{32}$

Теперь умножим полученное значение на первый член прогрессии:

$b_6 = 4 \cdot \frac{1}{32} = \frac{4}{32}$

Сократим полученную дробь:

$b_6 = \frac{4 \div 4}{32 \div 4} = \frac{1}{8}$

Для того чтобы сравнить наш результат с предложенными вариантами, переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$b_6 = \frac{1}{8} = 0,125$

Полученное значение 0,125 соответствует варианту ответа B).

Ответ: 0,125

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: 12; 6; ...

A) 6;

B) -12;

C) 24;

D) -24;

E) 12.

Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула применима, только если модуль знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

В данной прогрессии первый член $b_1 = 12$ и второй член $b_2 = 6$.

Сначала вычислим знаменатель прогрессии $q$:$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Теперь проверим, выполняется ли условие для нахождения суммы: $|q| = |\frac{1}{2}| = 0.5$.Поскольку $0.5 < 1$, условие выполняется, и мы можем рассчитать сумму.

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу суммы:$S = \frac{12}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{12}{\frac{1}{2}} = 12 \cdot 2 = 24$.

Ответ: 24.

4. Найдите сумму 100 первых членов последовательности ${x_n}$, если $x_n = 2n + 1$:
A) 20 400;
B) 1200;
C) 102;
D) 1020;
E) 10 200.

Дано:

Последовательность {$x_n$}, заданная формулой $x_n = 2n + 1$.

Количество членов для суммирования: $n = 100$.

Найти:

Сумму 100 первых членов последовательности, $S_{100}$.

Решение:

Заданная последовательность $x_n = 2n + 1$ является арифметической прогрессией. Чтобы это доказать, найдем разность между двумя последовательными членами:

$d = x_{n+1} - x_n = (2(n+1) + 1) - (2n + 1) = (2n + 2 + 1) - (2n + 1) = 2n + 3 - 2n - 1 = 2$.

Разность $d$ является постоянной величиной, равной 2, следовательно, это арифметическая прогрессия.

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

где $a_1$ – первый член прогрессии, $a_n$ – n-й член прогрессии, $n$ – количество членов.

В нашем случае $n = 100$. Найдем первый и сотый члены последовательности:

Первый член ($x_1$):

$x_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$

Сотый член ($x_{100}$):

$x_{100} = 2 \cdot 100 + 1 = 200 + 1 = 201$

Теперь подставим найденные значения в формулу для суммы:

$S_{100} = \frac{x_1 + x_{100}}{2} \cdot 100 = \frac{3 + 201}{2} \cdot 100 = \frac{204}{2} \cdot 100 = 102 \cdot 100 = 10200$.

Таким образом, сумма 100 первых членов последовательности равна 10 200, что соответствует варианту E).

Ответ: 10 200.

5. $ {b_n} $ — геометрическая прогрессия, $ b_1 = 625 $, $ q = \frac{1}{5} $. Найдите $ S_5: $

A) -781;

B) 781;

C) 871;

D) -871;

E) -10.

5. В задаче дана геометрическая прогрессия $\{b_n\}$, у которой известен первый член $b_1 = 625$ и знаменатель $q = \frac{1}{5}$. Требуется найти сумму первых пяти членов этой прогрессии, $S_5$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии существует формула:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Подставим в формулу известные нам значения: $n=5$, $b_1=625$ и $q=\frac{1}{5}$.

$S_5 = \frac{625(1 - (\frac{1}{5})^5)}{1 - \frac{1}{5}}$

Вычислим значение в знаменателе:

$1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

Теперь вычислим значение выражения в скобках в числителе:

$1 - (\frac{1}{5})^5 = 1 - \frac{1}{5^5} = 1 - \frac{1}{3125} = \frac{3125 - 1}{3125} = \frac{3124}{3125}$

Подставим вычисленные значения обратно в формулу для $S_5$:

$S_5 = \frac{625 \cdot \frac{3124}{3125}}{\frac{4}{5}}$

Упростим числитель дроби, учитывая что $625 = 5^4$ и $3125 = 5^5$:

$625 \cdot \frac{3124}{3125} = \frac{5^4 \cdot 3124}{5^5} = \frac{3124}{5}$

Теперь выполним деление:

$S_5 = \frac{\frac{3124}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3124}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3124}{4} = 781$

Альтернативный способ решения:

Можно вычислить каждый из первых пяти членов прогрессии и сложить их.

$b_1 = 625$

$b_2 = b_1 \cdot q = 625 \cdot \frac{1}{5} = 125$

$b_3 = b_2 \cdot q = 125 \cdot \frac{1}{5} = 25$

$b_4 = b_3 \cdot q = 25 \cdot \frac{1}{5} = 5$

$b_5 = b_4 \cdot q = 5 \cdot \frac{1}{5} = 1$

Теперь найдем их сумму:

$S_5 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 = 625 + 125 + 25 + 5 + 1 = 781$

Оба метода приводят к результату 781, что соответствует варианту B).

Ответ: B) 781.

6. Арифметическая прогрессия: 10; 8; ... . Найдите $S_{10}$:

A) 190;

B) -190;

C) 10;

D) 1;

E) -10.

Для решения этой задачи нужно найти сумму первых 10 членов заданной арифметической прогрессии.

Сначала определим параметры прогрессии. Первый член прогрессии $a_1 = 10$.

Второй член прогрессии $a_2 = 8$.

Разность арифметической прогрессии $d$ — это разница между последующим и предыдущим членами. $d = a_2 - a_1 = 8 - 10 = -2$.

Сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии можно найти по формуле: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

В нашем случае необходимо найти сумму первых 10 членов, поэтому $n=10$. Подставим известные значения в формулу: $S_{10} = \frac{2 \cdot 10 + (-2) \cdot (10-1)}{2} \cdot 10$.

Теперь выполним вычисления: $S_{10} = \frac{20 + (-2) \cdot 9}{2} \cdot 10$ $S_{10} = \frac{20 - 18}{2} \cdot 10$ $S_{10} = \frac{2}{2} \cdot 10$ $S_{10} = 1 \cdot 10 = 10$.

Следовательно, сумма первых 10 членов данной прогрессии равна 10.

Ответ: 10.

7. Найдите двадцать пятый член арифметической прогрессии:
-3; -6; ... :

A) 69; B) -69; C) 75; D) -72; E) -75.

Для нахождения двадцать пятого члена арифметической прогрессии необходимо сначала определить ее первый член и разность.

Первый член прогрессии $a_1$ равен -3.

Второй член прогрессии $a_2$ равен -6.

Разность арифметической прогрессии $d$ вычисляется как разница между последующим и предыдущим членами. Найдем ее, используя первые два члена:

$d = a_2 - a_1 = -6 - (-3) = -6 + 3 = -3$.

Теперь воспользуемся общей формулой для нахождения n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n - 1)d$

В данном случае нам нужно найти двадцать пятый член, то есть $n = 25$. Подставляем известные значения $a_1 = -3$ и $d = -3$ в формулу:

$a_{25} = -3 + (25 - 1) \cdot (-3)$

$a_{25} = -3 + 24 \cdot (-3)$

$a_{25} = -3 - 72$

$a_{25} = -75$

Следовательно, двадцать пятый член этой арифметической прогрессии равен -75, что соответствует варианту ответа E).

Ответ: -75.

8. Вычислите $S_4$, если ${b_n}$ — геометрическая прогрессия, $b_1 = 1, q = 3$:

A) 81;

B) 40;

C) 80;

D) -80;

E) -40.

Для вычисления суммы первых четырех членов геометрической прогрессии $S_4$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов.
В данном случае нам известны:
- первый член прогрессии $b_1 = 1$;
- знаменатель прогрессии $q = 3$;
- количество членов, сумму которых нужно найти, $n = 4$.
Подставим эти значения в формулу:
$S_4 = \frac{1 \cdot (3^4 - 1)}{3 - 1}$
Теперь выполним вычисления:
1. Вычислим $3^4$: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.
2. Подставим полученное значение в формулу: $S_4 = \frac{1 \cdot (81 - 1)}{3 - 1}$.
3. Выполним вычитание в числителе и знаменателе: $S_4 = \frac{80}{2}$.
4. Выполним деление: $S_4 = 40$.

Также можно было решить задачу, вычислив первые четыре члена прогрессии и сложив их:
$b_1 = 1$
$b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot 3 = 3$
$b_3 = b_2 \cdot q = 3 \cdot 3 = 9$
$b_4 = b_3 \cdot q = 9 \cdot 3 = 27$
$S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = 1 + 3 + 9 + 27 = 40$.
Оба способа приводят к одному и тому же результату. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что правильный ответ находится под буквой B.
Ответ: 40.

9. Найдите восьмой член геометрической прогрессии ${$b_n$}$, если

${$b_1 = 32, q = \frac{1}{2}$}$;

A) ${$\frac{1}{2}$}$;

B) ${$-\frac{1}{4}$}$;

C) ${$\frac{1}{4}$}$;

D) ${$-\frac{1}{2}$}$;

E) 64.

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии $\{b_n\}$ используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — порядковый номер искомого члена.

По условию задачи дано:

• первый член прогрессии $b_1 = 32$

• знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$

Необходимо найти восьмой член прогрессии, то есть $b_8$. Для этого в формулу подставляем $n = 8$.

Подставим известные значения в формулу:

$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = 32 \cdot (\frac{1}{2})^{7}$

Теперь выполним вычисления. Сначала возведем знаменатель в степень:

$(\frac{1}{2})^7 = \frac{1^7}{2^7} = \frac{1}{128}$

Далее, умножим первый член на полученное значение:

$b_8 = 32 \cdot \frac{1}{128} = \frac{32}{128}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 32 и 128 это 32.

$b_8 = \frac{32 \div 32}{128 \div 32} = \frac{1}{4}$

Таким образом, восьмой член геометрической прогрессии равен $\frac{1}{4}$. Среди предложенных вариантов это ответ C).

Ответ: $\frac{1}{4}$.

10. ${ \{a_n\} }$ – арифметическая прогрессия и $a_1 = -10, d = 2$. Найдите $S_5$:

A) -28;

B) -70;

C) 70;

D) -30;

E) 39.

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $\{a_n\}$ используется формула: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — количество членов.

В условии задачи даны следующие значения:
- первый член прогрессии $a_1 = -10$;
- разность прогрессии $d = 2$;
- количество членов для суммирования $n = 5$ (так как необходимо найти $S_5$).

Подставим известные значения в формулу:
$S_5 = \frac{2 \cdot (-10) + 2 \cdot (5-1)}{2} \cdot 5$

Выполним вычисления по порядку:
$S_5 = \frac{-20 + 2 \cdot 4}{2} \cdot 5$
$S_5 = \frac{-20 + 8}{2} \cdot 5$
$S_5 = \frac{-12}{2} \cdot 5$
$S_5 = -6 \cdot 5$
$S_5 = -30$

Таким образом, сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна -30. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту D).
Ответ: -30

11. Найдите десятый член арифметической прогрессии: $3$; $7$; ... :

A) -36;

B) 36;

C) -33;

D) 33;

E) 39.

Дано:

Арифметическая прогрессия ($a_n$).
Первый член прогрессии, $a_1 = 3$.
Второй член прогрессии, $a_2 = 7$.
Номер искомого члена, $n = 10$.

Найти:

Десятый член прогрессии, $a_{10}$.

Решение:

Для нахождения любого члена арифметической прогрессии используется формула:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
где $a_1$ — первый член прогрессии, $n$ — номер члена, а $d$ — разность прогрессии.

Сначала найдем разность прогрессии $d$, вычтя из второго члена первый:
$d = a_2 - a_1 = 7 - 3 = 4$

Теперь, зная $a_1 = 3$, $d = 4$ и $n = 10$, мы можем найти десятый член прогрессии ($a_{10}$):
$a_{10} = a_1 + (10-1)d$
$a_{10} = 3 + (9) \times 4$
$a_{10} = 3 + 36$
$a_{10} = 39$

Таким образом, десятый член данной арифметической прогрессии равен 39.

Ответ: 39.

12. Сумма первых шести членов арифметической прогрессии равна 9, разность между четвертым и вторым членами равна 0,4.

Найдите первый член прогрессии:

A) 0;

B) -1;

C) 1;

D) -2;

E) 2.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность.
По условию, разность между четвертым и вторым членами равна 0,4. Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ для составления уравнения:
$a_4 - a_2 = 0,4$
$(a_1 + (4-1)d) - (a_1 + (2-1)d) = 0,4$
$(a_1 + 3d) - (a_1 + d) = 0,4$
$2d = 0,4$
Отсюда находим разность прогрессии:
$d = \frac{0,4}{2} = 0,2$.

Также по условию, сумма первых шести членов прогрессии $S_6$ равна 9. Воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$:
$S_6 = \frac{2a_1 + (6-1)d}{2} \cdot 6 = 9$
Упростим выражение, сократив 6 и 2:
$(2a_1 + 5d) \cdot 3 = 9$
Теперь разделим обе части уравнения на 3:
$2a_1 + 5d = 3$
Подставим найденное ранее значение $d=0,2$ в это уравнение, чтобы найти $a_1$:
$2a_1 + 5 \cdot (0,2) = 3$
$2a_1 + 1 = 3$
$2a_1 = 3 - 1$
$2a_1 = 2$
$a_1 = 1$.

Таким образом, первый член прогрессии равен 1.
Ответ: 1