Номер 5, страница 166, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5. $ {b_n} $ — геометрическая прогрессия, $ b_1 = 625 $, $ q = \frac{1}{5} $. Найдите $ S_5: $

A) -781;

B) 781;

C) 871;

D) -871;

E) -10.

5. В задаче дана геометрическая прогрессия $\{b_n\}$, у которой известен первый член $b_1 = 625$ и знаменатель $q = \frac{1}{5}$. Требуется найти сумму первых пяти членов этой прогрессии, $S_5$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии существует формула:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Подставим в формулу известные нам значения: $n=5$, $b_1=625$ и $q=\frac{1}{5}$.

$S_5 = \frac{625(1 - (\frac{1}{5})^5)}{1 - \frac{1}{5}}$

Вычислим значение в знаменателе:

$1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

Теперь вычислим значение выражения в скобках в числителе:

$1 - (\frac{1}{5})^5 = 1 - \frac{1}{5^5} = 1 - \frac{1}{3125} = \frac{3125 - 1}{3125} = \frac{3124}{3125}$

Подставим вычисленные значения обратно в формулу для $S_5$:

$S_5 = \frac{625 \cdot \frac{3124}{3125}}{\frac{4}{5}}$

Упростим числитель дроби, учитывая что $625 = 5^4$ и $3125 = 5^5$:

$625 \cdot \frac{3124}{3125} = \frac{5^4 \cdot 3124}{5^5} = \frac{3124}{5}$

Теперь выполним деление:

$S_5 = \frac{\frac{3124}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3124}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3124}{4} = 781$

Альтернативный способ решения:

Можно вычислить каждый из первых пяти членов прогрессии и сложить их.

$b_1 = 625$

$b_2 = b_1 \cdot q = 625 \cdot \frac{1}{5} = 125$

$b_3 = b_2 \cdot q = 125 \cdot \frac{1}{5} = 25$

$b_4 = b_3 \cdot q = 25 \cdot \frac{1}{5} = 5$

$b_5 = b_4 \cdot q = 5 \cdot \frac{1}{5} = 1$

Теперь найдем их сумму:

$S_5 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 = 625 + 125 + 25 + 5 + 1 = 781$

Оба метода приводят к результату 781, что соответствует варианту B).

Ответ: B) 781.