Номер 18.30, страница 165, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.30. На координатной плоскости с центром в начале координат постройте окружность радиусом 4 см. Постройте дугу с начальной точкой на положительной оси OX в $30^\circ$, $-45^\circ$, $-90^\circ$, $150^\circ$.

Сначала построим окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 4$ см. Уравнение этой окружности имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$, то есть $x^2 + y^2 = 16$. Затем на этой окружности построим четыре дуги. Каждая дуга начинается от точки пересечения окружности с положительной полуосью OX, то есть от точки с координатами $(4, 0)$. Положительные углы задают отсчет дуги против часовой стрелки, а отрицательные – по часовой стрелке. На представленном ниже рисунке показана координатная плоскость, исходная окружность (светло-серая линия) и четыре искомые дуги, выделенные разными цветами.

30°
Для построения дуги в 30° мы откладываем от начальной точки (4, 0) угол 30° против часовой стрелки. Конечная точка дуги будет иметь координаты $(x, y)$, где $x = 4 \cdot \cos(30°) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \approx 3.46$ и $y = 4 \cdot \sin(30°) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.
Ответ: Дуга, соответствующая углу 30°, показана на рисунке красным цветом.

-45°
Знак "минус" указывает, что угол откладывается по часовой стрелке. Для построения дуги в -45° мы откладываем от начальной точки (4, 0) угол 45° по часовой стрелке. Конечная точка дуги будет иметь координаты $(x, y)$, где $x = 4 \cdot \cos(-45°) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83$ и $y = 4 \cdot \sin(-45°) = -4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2} \approx -2.83$.
Ответ: Дуга, соответствующая углу -45°, показана на рисунке синим цветом.

-90°
Аналогично предыдущему пункту, строим дугу, откладывая угол 90° по часовой стрелке от точки (4, 0). Эта дуга займет всю четвертую координатную четверть. Конечная точка дуги окажется на отрицательной полуоси OY и будет иметь координаты $(0, -4)$, так как $x = 4 \cdot \cos(-90°) = 0$ и $y = 4 \cdot \sin(-90°) = -4$.
Ответ: Дуга, соответствующая углу -90°, показана на рисунке зеленым цветом.

150°
Для построения дуги в 150° мы откладываем от начальной точки (4, 0) угол 150° против часовой стрелки. Дуга пройдет через всю первую координатную четверть и закончится во второй. Конечная точка дуги будет иметь координаты $(x, y)$, где $x = 4 \cdot \cos(150°) = 4 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2\sqrt{3} \approx -3.46$ и $y = 4 \cdot \sin(150°) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.
Ответ: Дуга, соответствующая углу 150°, показана на рисунке фиолетовым цветом.