Номер 18.25, страница 164, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.25. Решите уравнение $2 + 4 + 6 + \dots + x = 930$.

Данное уравнение представляет собой сумму членов арифметической прогрессии, где каждый последующий член на 2 больше предыдущего.

Определим параметры этой прогрессии:

Первый член прогрессии $a_1 = 2$.

Разность прогрессии $d = 4 - 2 = 2$.

Последний (n-й) член прогрессии $a_n = x$.

Сумма $n$ членов прогрессии $S_n = 930$.

Сначала найдем количество членов в этой прогрессии, обозначив его как $n$.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ и формулой суммы $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Из первой формулы выразим $x$ через $n$: $x = 2 + (n-1)2 = 2 + 2n - 2 = 2n$.

Теперь подставим все известные значения, включая выражение для $x$, в формулу суммы:

$S_n = \frac{2 + x}{2} \cdot n$

$930 = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n$

Упростим выражение в числителе дроби:

$930 = \frac{2(1 + n)}{2} \cdot n$

$930 = (1 + n) \cdot n$

Мы получили квадратное уравнение:

$n^2 + n - 930 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-930) = 1 + 3720 = 3721$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{3721} = 61$.

Теперь найдем корни уравнения для $n$:

$n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 61}{2}$

$n_1 = \frac{-1 + 61}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$n_2 = \frac{-1 - 61}{2} = \frac{-62}{2} = -31$

Поскольку $n$ — это количество членов в последовательности, оно должно быть положительным целым числом. Следовательно, $n = 30$.

Теперь, зная количество членов, мы можем найти $x$, который является 30-м членом прогрессии:

$x = a_n = 2n$

$x = 2 \cdot 30 = 60$

Проверка:

Найдем сумму первых 30 членов арифметической прогрессии с $a_1 = 2$ и $a_{30} = 60$.

$S_{30} = \frac{2 + 60}{2} \cdot 30 = \frac{62}{2} \cdot 30 = 31 \cdot 30 = 930$.

Сумма верна, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $60$.