Номер 18.27, страница 164, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.27. Решите уравнение:

1) $(x^2 + x + 1)^2 - 3x^2 - 3x - 1 = 0;$

2) $(2x^2 + 3x - 1)^2 - 10x^2 - 15x + 9 = 0.$

1) $(x^2 + x + 1)^2 - 3x^2 - 3x - 1 = 0$
Это уравнение можно решить методом введения новой переменной. Заметим, что выражение $-3x^2 - 3x - 1$ можно преобразовать так, чтобы выделить в нем $x^2 + x + 1$.
$-3x^2 - 3x - 1 = -3(x^2 + x) - 1 = -3(x^2 + x + 1 - 1) - 1 = -3(x^2 + x + 1) + 3 - 1 = -3(x^2 + x + 1) + 2$.
Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$(x^2 + x + 1)^2 - 3(x^2 + x + 1) + 2 = 0$.
Сделаем замену. Пусть $t = x^2 + x + 1$. Тогда уравнение примет вид:
$t^2 - 3t + 2 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета его корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Теперь выполним обратную замену для каждого значения $t$.

Случай 1: $t = 1$.
$x^2 + x + 1 = 1$
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Случай 2: $t = 2$.
$x^2 + x + 1 = 2$
$x^2 + x - 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.
Корни уравнения: $x_{3,4} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-1; 0; \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.

2) $(2x^2 + 3x - 1)^2 - 10x^2 - 15x + 9 = 0$
Данное уравнение также решается методом замены переменной. Сначала преобразуем слагаемые вне скобок:
$-10x^2 - 15x + 9 = -5(2x^2 + 3x) + 9$.
Теперь выделим в этом выражении $2x^2 + 3x - 1$:
$-5(2x^2 + 3x) + 9 = -5(2x^2 + 3x - 1 + 1) + 9 = -5(2x^2 + 3x - 1) - 5 + 9 = -5(2x^2 + 3x - 1) + 4$.
Подставим это в исходное уравнение:
$(2x^2 + 3x - 1)^2 - 5(2x^2 + 3x - 1) + 4 = 0$.
Сделаем замену. Пусть $t = 2x^2 + 3x - 1$. Уравнение примет вид:
$t^2 - 5t + 4 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета его корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.
Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 1$.
$2x^2 + 3x - 1 = 1$
$2x^2 + 3x - 2 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4}$.
$x_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.

Случай 2: $t = 4$.
$2x^2 + 3x - 1 = 4$
$2x^2 + 3x - 5 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.
Корни уравнения: $x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 7}{4}$.
$x_3 = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
$x_4 = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-\frac{5}{2}; -2; \frac{1}{2}; 1$.