Номер 18.20, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.20. Докажите, что значение выражения $ \frac{n \cdot (2n^2 + 3n + 1)}{6} $ при любых натуральных $n$ является натуральным числом.

Для того чтобы доказать, что значение выражения $\frac{n \cdot (2n^2 + 3n + 1)}{6}$ при любых натуральных $n$ является натуральным числом, необходимо показать, что числитель $n \cdot (2n^2 + 3n + 1)$ всегда делится на 6 нацело.

Сначала преобразуем выражение в числителе. Разложим квадратный трехчлен $2n^2 + 3n + 1$ на множители. Для этого найдем его корни, решив уравнение $2n^2 + 3n + 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни уравнения: $n_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 1}{4} = -1$ и $n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2}$.

Тогда разложение на множители имеет вид: $2n^2 + 3n + 1 = 2(n - n_1)(n - n_2) = 2(n - (-1))(n - (-\frac{1}{2})) = 2(n+1)(n+\frac{1}{2}) = (n+1)(2n+1)$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Теперь докажем, что произведение $n(n+1)(2n+1)$ делится на 6. Число делится на 6, если оно одновременно делится на 2 и на 3, так как 2 и 3 — взаимно простые числа.

Во-первых, докажем делимость на 2. Произведение $n(n+1)$ — это произведение двух последовательных натуральных чисел. Одно из них обязательно является четным, поэтому их произведение всегда делится на 2. Следовательно, и все произведение $n(n+1)(2n+1)$ делится на 2.

Во-вторых, докажем делимость на 3. Рассмотрим три возможных случая для натурального числа $n$ в зависимости от остатка при делении на 3.

Первый случай: $n$ делится на 3. Если $n = 3k$ для некоторого натурального $k$, то первый множитель $n$ в произведении $n(n+1)(2n+1)$ делится на 3, а значит, и все произведение делится на 3.

Второй случай: $n$ дает остаток 1 при делении на 3. Если $n = 3k+1$ для некоторого целого $k \ge 0$ (при $n=1$, $k=0$), то множитель $2n+1$ равен $2(3k+1)+1 = 6k+2+1 = 6k+3 = 3(2k+1)$. Этот множитель делится на 3, а значит, и все произведение делится на 3.

Третий случай: $n$ дает остаток 2 при делении на 3. Если $n = 3k+2$ для некоторого целого $k \ge 0$ (при $n=2$, $k=0$), то множитель $n+1$ равен $(3k+2)+1 = 3k+3 = 3(k+1)$. Этот множитель делится на 3, а значит, и все произведение делится на 3.

Таким образом, во всех трех возможных случаях произведение $n(n+1)(2n+1)$ делится на 3.

Поскольку произведение $n(n+1)(2n+1)$ делится и на 2, и на 3, оно делится на их произведение, то есть на 6. Это означает, что выражение $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ является целым числом. Так как $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$, и все множители $n$, $n+1$, $2n+1$ являются положительными. Следовательно, значение всего выражения является натуральным числом при любом натуральном $n$, что и требовалось доказать.

Примечательно, что данное выражение является известной формулой для суммы квадратов первых $n$ натуральных чисел: $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Сумма натуральных чисел всегда является натуральным числом, что также подтверждает верность утверждения.

Ответ: Утверждение доказано. Для любого натурального $n$ числитель $n \cdot (2n^2 + 3n + 1)$ преобразуется в $n(n+1)(2n+1)$. Произведение $n(n+1)(2n+1)$ всегда делится на 6, так как оно делится на 2 (содержит произведение двух последовательных чисел $n(n+1)$) и на 3 (при любом $n$ один из сомножителей $n$, $n+1$ или $2n+1$ кратен 3). Поскольку $n$ — натуральное число, результат деления является натуральным числом.