Номер 18.17, страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.17. Докажите, что $n$ различных прямых, лежащих в одной плоскости и проходящих через одну общую точку, делят плоскость на $2n$ частей.

Докажем данное утверждение методом математической индукции по числу прямых $n$.

База индукции

Проверим утверждение для $n=1$. Одна прямая делит плоскость на 2 части (две полуплоскости). По формуле количество частей равно $2 \cdot 1 = 2$. Таким образом, утверждение для $n=1$ является верным.

Индукционное предположение

Предположим, что утверждение истинно для некоторого натурального числа $k \ge 1$. То есть, $k$ различных прямых, проходящих через одну общую точку, делят плоскость на $2k$ частей. Обозначим это количество частей как $N(k) = 2k$.

Индукционный шаг

Докажем, что утверждение истинно и для $n=k+1$. Рассмотрим систему из $k$ прямых, которые, согласно нашему предположению, делят плоскость на $2k$ частей. Эти части являются угловыми секторами с общей вершиной в точке пересечения прямых.

Проведем $(k+1)$-ю прямую через ту же общую точку так, чтобы она не совпадала ни с одной из уже существующих $k$ прямых. Эта новая прямая, состоящая из двух лучей, исходящих из общей точки, пройдет через две из уже существующих $2k$ частей (эти части являются парой вертикальных углов).

Каждую из этих двух частей новая прямая разделит на две новые части. Следовательно, общее количество частей увеличится на 2 (вместо двух старых частей появляются четыре новые).

Новое количество частей $N(k+1)$ будет равно:

$N(k+1) = N(k) + 2$

Используя индукционное предположение $N(k) = 2k$, получаем:

$N(k+1) = 2k + 2 = 2(k+1)$

Таким образом, формула верна и для $n=k+1$.

На основании принципа математической индукции, утверждение доказано для любого натурального числа $n$.

Ответ: Утверждение доказано.