Номер 18.11, страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.11. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения:

1) $21^n + 16 \cdot 4^n$ кратно 17;

2) $15^n + 7 \cdot 7^n$ кратно 8;

3) $13^n + 9 \cdot 3^n$ кратно 10;

4) $5^n + 7 \cdot 9^n$ кратно 4.

1) Доказать, что $21^n + 16 \cdot 4^n$ кратно 17.

Для доказательства используем метод сравнений по модулю. Нам необходимо показать, что выражение $21^n + 16 \cdot 4^n$ даёт остаток 0 при делении на 17, что записывается как $21^n + 16 \cdot 4^n \equiv 0 \pmod{17}$.

Рассмотрим остатки от деления на 17 для оснований степеней и коэффициента:

Число 21 при делении на 17 даёт в остатке 4, так как $21 = 1 \cdot 17 + 4$. Следовательно, $21 \equiv 4 \pmod{17}$.

Число 16 можно представить как $16 = 1 \cdot 17 - 1$. Следовательно, $16 \equiv -1 \pmod{17}$.

Теперь подставим эти сравнения в исходное выражение:

$21^n + 16 \cdot 4^n \equiv 4^n + (-1) \cdot 4^n \pmod{17}$

Упростим полученное выражение:

$4^n - 4^n \equiv 0 \pmod{17}$

Поскольку выражение $21^n + 16 \cdot 4^n$ сравнимо с нулём по модулю 17, это означает, что оно делится на 17 без остатка при любом натуральном значении $n$.

Ответ: Доказано.

2) Доказать, что $15^n + 7 \cdot 7^n$ кратно 8.

Сначала преобразуем выражение: $15^n + 7 \cdot 7^n = 15^n + 7^{n+1}$.

Докажем, что $15^n + 7^{n+1}$ кратно 8, используя сравнения по модулю. Требуется показать, что $15^n + 7^{n+1} \equiv 0 \pmod{8}$.

Рассмотрим основания степеней по модулю 8:

Число 15 при делении на 8 даёт в остатке 7, или -1, так как $15 = 2 \cdot 8 - 1$. Следовательно, $15 \equiv -1 \pmod{8}$.

Число 7 при делении на 8 даёт в остатке 7, или -1, так как $7 = 1 \cdot 8 - 1$. Следовательно, $7 \equiv -1 \pmod{8}$.

Подставим эти сравнения в выражение:

$15^n + 7^{n+1} \equiv (-1)^n + (-1)^{n+1} \pmod{8}$

Вынесем общий множитель $(-1)^n$ за скобки:

$(-1)^n + (-1) \cdot (-1)^n = (-1)^n \cdot (1 + (-1)) = (-1)^n \cdot 0 \equiv 0 \pmod{8}$

Таким образом, выражение $15^n + 7 \cdot 7^n$ делится на 8 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано.

3) Доказать, что $13^n + 9 \cdot 3^n$ кратно 10.

Преобразуем выражение, представив 9 как $3^2$: $13^n + 9 \cdot 3^n = 13^n + 3^2 \cdot 3^n = 13^n + 3^{n+2}$.

Для доказательства кратности 10 воспользуемся сравнениями по модулю 10. Нужно показать, что $13^n + 3^{n+2} \equiv 0 \pmod{10}$.

Рассмотрим основание степени 13 по модулю 10:

Число 13 при делении на 10 даёт в остатке 3, так как $13 = 1 \cdot 10 + 3$. Следовательно, $13 \equiv 3 \pmod{10}$.

Подставим это в исходное выражение:

$13^n + 3^{n+2} \equiv 3^n + 3^{n+2} \pmod{10}$

Вынесем общий множитель $3^n$ за скобки:

$3^n + 3^2 \cdot 3^n = 3^n \cdot (1 + 3^2) = 3^n \cdot (1 + 9) = 3^n \cdot 10 \pmod{10}$

Так как один из множителей в произведении равен 10, всё произведение делится на 10 без остатка:

$3^n \cdot 10 \equiv 0 \pmod{10}$

Следовательно, выражение $13^n + 9 \cdot 3^n$ кратно 10 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано.

4) Доказать, что $5^n + 7 \cdot 9^n$ кратно 4.

Воспользуемся сравнениями по модулю 4. Нам необходимо показать, что $5^n + 7 \cdot 9^n \equiv 0 \pmod{4}$.

Рассмотрим остатки от деления на 4 для чисел в выражении:

$5 = 1 \cdot 4 + 1$, следовательно, $5 \equiv 1 \pmod{4}$.

$7 = 2 \cdot 4 - 1$, следовательно, $7 \equiv -1 \pmod{4}$.

$9 = 2 \cdot 4 + 1$, следовательно, $9 \equiv 1 \pmod{4}$.

Подставим эти сравнения в исходное выражение:

$5^n + 7 \cdot 9^n \equiv 1^n + (-1) \cdot 1^n \pmod{4}$

Так как $1^n = 1$ для любого натурального $n$, упростим выражение:

$1 + (-1) \cdot 1 = 1 - 1 \equiv 0 \pmod{4}$

Поскольку выражение $5^n + 7 \cdot 9^n$ сравнимо с нулём по модулю 4, оно делится на 4 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано.