Номер 18.5, страница 161, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.5. Методом математической индукции докажите, что для всех натуральных чисел верно равенство:

1) $1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n - 1)^2 = \frac{n \cdot (2n - 1)(2n + 1)}{3};$

2) $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - \dots + (-1)^{n-1} n^2 = (-1)^{n-1} \frac{n \cdot (n + 1)}{2}.$

1) Докажем равенство $1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n - 1)^2 = \frac{n(2n - 1)(2n + 1)}{3}$ методом математической индукции.

Шаг 1: Базис индукции.

Проверим верность утверждения для $n=1$.

Левая часть равенства: $1^2 = 1$.

Правая часть равенства: $\frac{1 \cdot (2 \cdot 1 - 1)(2 \cdot 1 + 1)}{3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 3}{3} = 1$.

Поскольку левая и правая части равны ($1=1$), утверждение верно для $n=1$.

Шаг 2: Индукционное предположение.

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$.

То есть, мы предполагаем, что $1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2k - 1)^2 = \frac{k(2k - 1)(2k + 1)}{3}$.

Шаг 3: Индукционный шаг.

Докажем, что равенство верно и для $n=k+1$. То есть, нам нужно доказать, что:

$1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2k - 1)^2 + (2(k+1) - 1)^2 = \frac{(k+1)(2(k+1) - 1)(2(k+1) + 1)}{3}$.

Рассмотрим левую часть этого равенства. Используя индукционное предположение, заменим сумму первых $k$ членов:

$(1^2 + 3^2 + ... + (2k - 1)^2) + (2k+1)^2 = \frac{k(2k - 1)(2k + 1)}{3} + (2k + 1)^2$.

Вынесем общий множитель $(2k+1)$ за скобки:

$\frac{k(2k - 1)(2k + 1)}{3} + (2k + 1)^2 = (2k+1) \left( \frac{k(2k-1)}{3} + (2k+1) \right)$.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$(2k+1) \left( \frac{2k^2 - k + 3(2k+1)}{3} \right) = (2k+1) \left( \frac{2k^2 - k + 6k + 3}{3} \right) = (2k+1) \left( \frac{2k^2 + 5k + 3}{3} \right)$.

Разложим квадратный трехчлен $2k^2 + 5k + 3$ на множители. Корнями уравнения $2k^2 + 5k + 3 = 0$ являются $k_1 = -1$ и $k_2 = -3/2$. Следовательно, $2k^2 + 5k + 3 = 2(k - (-1))(k - (-3/2)) = (k+1)(2k+3)$.

Подставим разложение обратно в наше выражение:

$\frac{(2k+1)(k+1)(2k+3)}{3} = \frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}$.

Теперь преобразуем правую часть доказываемого равенства для $n=k+1$:

$\frac{(k+1)(2(k+1) - 1)(2(k+1) + 1)}{3} = \frac{(k+1)(2k+2-1)(2k+2+1)}{3} = \frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}$.

Мы получили, что левая и правая части равны. Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$.

На основании принципа математической индукции, равенство верно для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Доказано.

2) Докажем равенство $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + (-1)^{n-1}n^2 = (-1)^{n-1}\frac{n(n + 1)}{2}$ методом математической индукции.

Шаг 1: Базис индукции.

Проверим верность утверждения для $n=1$.

Левая часть: $(-1)^{1-1}1^2 = (-1)^0 \cdot 1 = 1$.

Правая часть: $(-1)^{1-1}\frac{1(1+1)}{2} = (-1)^0 \cdot \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$.

Поскольку $1=1$, утверждение верно для $n=1$.

Шаг 2: Индукционное предположение.

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$.

То есть, $1^2 - 2^2 + 3^2 - ... + (-1)^{k-1}k^2 = (-1)^{k-1}\frac{k(k + 1)}{2}$.

Шаг 3: Индукционный шаг.

Докажем, что равенство верно и для $n=k+1$. То есть, докажем, что:

$1^2 - 2^2 + ... + (-1)^{k-1}k^2 + (-1)^{(k+1)-1}(k+1)^2 = (-1)^{(k+1)-1}\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}$.

Рассмотрим левую часть этого равенства и воспользуемся индукционным предположением:

$(1^2 - 2^2 + ... + (-1)^{k-1}k^2) + (-1)^k(k+1)^2 = (-1)^{k-1}\frac{k(k + 1)}{2} + (-1)^k(k+1)^2$.

Заметим, что $(-1)^{k-1} = -(-1)^k$. Подставим это в выражение:

$-(-1)^k\frac{k(k + 1)}{2} + (-1)^k(k+1)^2$.

Вынесем общий множитель $(-1)^k(k+1)$ за скобки:

$(-1)^k(k+1) \left( -\frac{k}{2} + (k+1) \right)$.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$(-1)^k(k+1) \left( \frac{-k + 2(k+1)}{2} \right) = (-1)^k(k+1) \left( \frac{-k + 2k + 2}{2} \right) = (-1)^k(k+1) \frac{k+2}{2}$.

Это выражение можно переписать в виде: $(-1)^k\frac{(k+1)(k+2)}{2}$.

Теперь преобразуем правую часть доказываемого равенства для $n=k+1$:

$(-1)^{(k+1)-1}\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} = (-1)^k\frac{(k+1)(k+2)}{2}$.

Левая и правая части совпали. Таким образом, индукционный переход доказан.

На основании принципа математической индукции, равенство верно для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Доказано.