Номер 18.4, страница 161, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.4. Докажите, что $n^3 - n$ делится на 3 при любом натуральном $n$.

Для доказательства того, что выражение $n^3 - n$ делится на 3 при любом натуральном $n$, преобразуем его, разложив на множители.

Сначала вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n^3 - n = n(n^2 - 1)$

Выражение в скобках, $n^2 - 1$, является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$

Для наглядности переставим множители в порядке возрастания:

$(n-1)n(n+1)$

Это выражение представляет собой произведение трех последовательных целых чисел. Среди любых трех последовательных чисел одно из них обязательно делится на 3.

Чтобы это строго показать, рассмотрим все возможные остатки от деления натурального числа $n$ на 3:

• Если $n$ делится на 3 (остаток 0), то множитель $n$ в произведении $(n-1)n(n+1)$ делится на 3, и, следовательно, все произведение делится на 3.
• Если $n$ при делении на 3 дает остаток 1, то $n$ можно представить в виде $n = 3k+1$ для некоторого целого $k \ge 0$. Тогда множитель $(n-1)$ будет равен $(3k+1) - 1 = 3k$, что делится на 3. Следовательно, все произведение делится на 3.
• Если $n$ при делении на 3 дает остаток 2, то $n$ можно представить в виде $n = 3k+2$ для некоторого целого $k \ge 0$. Тогда множитель $(n+1)$ будет равен $(3k+2) + 1 = 3k+3 = 3(k+1)$, что делится на 3. Следовательно, все произведение делится на 3.

Таким образом, для любого натурального числа $n$ один из множителей в произведении $(n-1)n(n+1)$ делится на 3. Это означает, что и само произведение всегда делится на 3.

Поскольку $n^3 - n = (n-1)n(n+1)$, то выражение $n^3 - n$ делится на 3 при любом натуральном $n$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.