Номер 18.3, страница 161, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.3. Методом математической индукции докажите, что для всех натуральных чисел верно равенство:

1) $2 + 4 + 6 + \dots + 2n = n (n + 1);$

2) $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2;$

3) $1 - 2 + 3 - 4 + \dots + (-1)^{n-1} n = (-1)^{n-1} \left[ \frac{n + 1}{2} \right];$

4) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n \cdot (n + 1) = \frac{n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)}{3}.$

1) Докажем равенство $2 + 4 + 6 + \dots + 2n = n(n + 1)$ методом математической индукции.

Шаг 1: Базис индукции.
Проверим утверждение для $n=1$.
Левая часть: $2 \cdot 1 = 2$.
Правая часть: $1 \cdot (1 + 1) = 2$.
Равенство $2=2$ верно.

Шаг 2: Индукционный переход.
Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $n=k$, то есть выполняется $2 + 4 + 6 + \dots + 2k = k(k + 1)$. Это наше индукционное предположение.

Докажем, что из этого следует верность равенства для $n = k + 1$, а именно: $2 + 4 + 6 + \dots + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n = k+1$ и преобразуем ее, используя индукционное предположение:
$(2 + 4 + 6 + \dots + 2k) + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)$.
Вынесем общий множитель $(k + 1)$ за скобки:
$(k + 1)(k + 2)$.
Правая часть равенства для $n=k+1$ имеет вид: $(k+1)((k+1)+1) = (k+1)(k+2)$.
Поскольку левая и правая части совпали, индукционный переход доказан.

Так как база индукции и индукционный переход верны, утверждение доказано для всех натуральных чисел $n$. Ответ: утверждение доказано.

2) Докажем равенство $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$ методом математической индукции.

Шаг 1: Базис индукции.
Проверим для $n=1$.
Левая часть: $2 \cdot 1 - 1 = 1$.
Правая часть: $1^2 = 1$.
Равенство $1=1$ верно.

Шаг 2: Индукционный переход.
Предположим, что равенство верно для $n = k$: $1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) = k^2$ (индукционное предположение).

Докажем, что оно верно для $n = k + 1$: $1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)^2$.

Преобразуем левую часть, используя предположение:
$(1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1)) + (2(k + 1) - 1) = k^2 + (2k + 2 - 1) = k^2 + 2k + 1$.
Выражение $k^2 + 2k + 1$ является полным квадратом и равно $(k + 1)^2$.
Левая часть равна правой, индукционный переход доказан.

Следовательно, по принципу математической индукции, исходное равенство верно для всех натуральных чисел $n$. Ответ: утверждение доказано.

3) Докажем равенство $1 - 2 + 3 - 4 + \dots + (-1)^{n-1}n = (-1)^{n-1}\left[\frac{n + 1}{2}\right]$ методом математической индукции. Здесь $\left[x\right]$ обозначает целую часть числа $x$ (функция "пол").

Шаг 1: Базис индукции.
Проверим для $n=1$.
Левая часть: $(-1)^{1-1} \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1$.
Правая часть: $(-1)^{1-1}\left[\frac{1 + 1}{2}\right] = 1 \cdot \left[1\right] = 1$.
Равенство $1=1$ верно.

Шаг 2: Индукционный переход.
Предположим, что равенство верно для $n = k$: $S_k = 1 - 2 + \dots + (-1)^{k-1}k = (-1)^{k-1}\left[\frac{k + 1}{2}\right]$ (индукционное предположение).

Докажем, что оно верно для $n = k + 1$, то есть $S_{k+1} = S_k + (-1)^{(k+1)-1}(k+1) = (-1)^{k}\left[\frac{k + 2}{2}\right]$.

Используя предположение, выразим $S_{k+1}$:
$S_{k+1} = (-1)^{k-1}\left[\frac{k + 1}{2}\right] + (-1)^{k}(k+1) = (-1)^k \left(-\left[\frac{k + 1}{2}\right] + (k+1)\right)$.

Рассмотрим два случая:
Случай 1: $k$ - четное число. Пусть $k = 2m$ для некоторого натурального $m \ge 1$.
Тогда $S_{k+1} = (-1)^{2m} \left(-\left[\frac{2m + 1}{2}\right] + (2m+1)\right) = 1 \cdot \left(-\left[m + 0.5\right] + 2m+1\right) = -m + 2m + 1 = m+1$.
Целевое выражение для $n=k+1=2m+1$: $(-1)^{k}\left[\frac{k + 2}{2}\right] = (-1)^{2m}\left[\frac{2m + 2}{2}\right] = 1 \cdot [m+1] = m+1$.
Равенство выполняется.

Случай 2: $k$ - нечетное число. Пусть $k = 2m-1$ для некоторого натурального $m \ge 1$.
Тогда $S_{k+1} = (-1)^{2m-1} \left(-\left[\frac{(2m-1) + 1}{2}\right] + ((2m-1)+1)\right) = -1 \cdot \left(-\left[\frac{2m}{2}\right] + 2m\right) = -(-m + 2m) = -m$.
Целевое выражение для $n=k+1=2m$: $(-1)^{k}\left[\frac{k + 2}{2}\right] = (-1)^{2m-1}\left[\frac{(2m-1) + 2}{2}\right] = -1 \cdot \left[\frac{2m+1}{2}\right] = -1 \cdot \left[m+0.5\right] = -m$.
Равенство выполняется.

Индукционный переход доказан для четных и нечетных $k$. Следовательно, исходное равенство верно для всех натуральных чисел $n$. Ответ: утверждение доказано.

4) Докажем равенство $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$ методом математической индукции.

Шаг 1: Базис индукции.
Проверим для $n=1$.
Левая часть: $1 \cdot (1 + 1) = 2$.
Правая часть: $\frac{1(1 + 1)(1 + 2)}{3} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2$.
Равенство $2=2$ верно.

Шаг 2: Индукционный переход.
Предположим, что равенство верно для $n = k$: $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k + 1) = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3}$ (индукционное предположение).

Докажем, что оно верно для $n = k + 1$: $1 \cdot 2 + \dots + k(k + 1) + (k+1)(k+2) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$.

Преобразуем левую часть, используя предположение:
$(1 \cdot 2 + \dots + k(k + 1)) + (k+1)(k+2) = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3} + (k+1)(k+2)$.
Вынесем общий множитель $(k+1)(k+2)$ за скобки:
$(k+1)(k+2) \left(\frac{k}{3} + 1\right) = (k+1)(k+2) \left(\frac{k+3}{3}\right) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$.
Левая часть равна правой. Индукционный переход доказан.

Следовательно, по принципу математической индукции, исходное равенство верно для всех натуральных чисел $n$. Ответ: утверждение доказано.