Номер 17.34, страница 157, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.34. Пусть члены последовательности заданы формулой $a_n = (2n + 1) \cdot 3^n$. Докажите, что значение суммы первых $n$ членов этой последовательности вычисляется по формуле $S_n = n \cdot 3^{n+1}$.

Для доказательства того, что сумма первых $n$ членов последовательности, заданной формулой $a_n = (2n + 1) \cdot 3^n$, вычисляется по формуле $S_n = n \cdot 3^{n+1}$, воспользуемся методом математической индукции.

1. База индукции (проверка для n=1)
Проверим справедливость формулы для $n=1$.
Сумма первого члена последовательности $S_1$ равна самому первому члену $a_1$.
$S_1 = a_1 = (2 \cdot 1 + 1) \cdot 3^1 = (2 + 1) \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$.
Теперь вычислим значение $S_1$ по предложенной формуле для суммы:
$S_1 = 1 \cdot 3^{1+1} = 1 \cdot 3^2 = 9$.
Поскольку результаты совпали ($9=9$), формула верна для $n=1$.

2. Индукционное предположение
Предположим, что формула верна для некоторого произвольного натурального числа $n=k$, где $k \ge 1$. То есть, предположим, что истинно равенство:
$S_k = \sum_{i=1}^{k} a_i = \sum_{i=1}^{k} (2i + 1) \cdot 3^i = k \cdot 3^{k+1}$.

3. Индукционный шаг
Докажем, что если наше предположение верно для $n=k$, то оно будет верно и для следующего натурального числа $n=k+1$. Нам нужно доказать, что $S_{k+1} = (k+1) \cdot 3^{(k+1)+1} = (k+1) \cdot 3^{k+2}$.
Сумма первых $k+1$ членов последовательности $S_{k+1}$ может быть представлена как сумма первых $k$ членов ($S_k$) плюс $(k+1)$-й член ($a_{k+1}$):
$S_{k+1} = S_k + a_{k+1}$.
Используя индукционное предположение для $S_k$ и общую формулу для члена $a_{k+1}$, получаем:
$a_{k+1} = (2(k+1) + 1) \cdot 3^{k+1} = (2k + 2 + 1) \cdot 3^{k+1} = (2k + 3) \cdot 3^{k+1}$.
Подставим выражения для $S_k$ и $a_{k+1}$ в формулу для $S_{k+1}$:
$S_{k+1} = (k \cdot 3^{k+1}) + ((2k + 3) \cdot 3^{k+1})$.
Вынесем общий множитель $3^{k+1}$ за скобки:
$S_{k+1} = (k + (2k + 3)) \cdot 3^{k+1}$.
Упростим выражение в скобках:
$S_{k+1} = (3k + 3) \cdot 3^{k+1}$.
Вынесем множитель 3 из скобок:
$S_{k+1} = 3(k+1) \cdot 3^{k+1}$.
Применим свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$S_{k+1} = (k+1) \cdot 3^1 \cdot 3^{k+1} = (k+1) \cdot 3^{k+2}$.
Полученное выражение в точности совпадает с формулой для суммы при $n=k+1$.

Таким образом, мы доказали, что если формула верна для $n=k$, она верна и для $n=k+1$. В сочетании с верностью формулы для базы индукции ($n=1$), по принципу математической индукции, мы заключаем, что формула верна для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Доказано, что значение суммы первых $n$ членов данной последовательности вычисляется по формуле $S_n = n \cdot 3^{n+1}$.