Номер 17.30, страница 157, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.30. Постройте график функции:

1) $y = x^2 + 2 |x|;$

2) $y = x^2 + 2 |x|;$

3) $y = -x^2 + 4 |x|;$

4) $y = -x^2 - |x|.$

1) y = x^2 + 2|x|

Данная функция $y = x^2 + 2|x|$ является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 + 2|-x| = x^2 + 2|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Поэтому мы можем построить график для $x \ge 0$, а затем симметрично отразить его относительно оси Oy, чтобы получить полный график.

Рассмотрим функцию при $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид:$y = x^2 + 2x$.Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину:$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.Так как $x_0 = -1$ не входит в рассматриваемый промежуток $x \ge 0$, на этом промежутке функция $y = x^2 + 2x$ является возрастающей.Найдем несколько точек для построения этой части графика:При $x = 0$, $y = 0^2 + 2 \cdot 0 = 0$. Точка (0, 0).При $x = 1$, $y = 1^2 + 2 \cdot 1 = 3$. Точка (1, 3).При $x = 2$, $y = 2^2 + 2 \cdot 2 = 8$. Точка (2, 8).

Теперь построим часть графика для $x \ge 0$. Затем, используя свойство четности, отразим эту часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить вторую половину для $x < 0$.Точкам (1, 3) и (2, 8) будут соответствовать точки (-1, 3) и (-2, 8). Точка (0, 0) останется на месте.Объединив обе части, мы получаем итоговый график функции.

Ниже представлен график функции $y = x^2 + 2|x|$.

Ответ: График функции построен.

2) y = x^2 + 2|x|

В задании 2) указана та же функция, что и в 1). Вероятно, это опечатка. Будем строить график для функции $y = x^2 - 2|x|$. Эта функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 - 2|-x| = x^2 - 2|x| = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy. Построим график для $x \ge 0$ и отразим его относительно оси Oy.

При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция имеет вид:$y = x^2 - 2x$.Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину:$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.Вершина находится в точке $x = 1$, которая принадлежит промежутку $x \ge 0$.Найдем координату y вершины: $y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$. Вершина параболы: (1, -1).Найдем точки пересечения с осью Ox: $x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0, x=2$. Точки (0, 0) и (2, 0).

Строим часть графика для $x \ge 0$, которая является частью параболы с вершиной в (1, -1) и проходящей через точки (0, 0) и (2, 0). Затем отражаем эту часть симметрично относительно оси Oy. Вершина (1, -1) отразится в точку (-1, -1), точка (2, 0) — в точку (-2, 0). График имеет характерную форму, напоминающую букву 'W'.

Ниже представлен график функции $y = x^2 - 2|x|$.

Ответ: График функции построен.

3) y = -x^2 + 4|x|

Функция $y = -x^2 + 4|x|$ является четной, так как $y(-x) = -(-x)^2 + 4|-x| = -x^2 + 4|x| = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

Рассмотрим $x \ge 0$, тогда $|x| = x$ и функция принимает вид:$y = -x^2 + 4x$.Это парабола с ветвями вниз. Найдем ее вершину:$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.$x_0 = 2$ принадлежит промежутку $x \ge 0$.$y_0 = -(2)^2 + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4$. Вершина: (2, 4).Точки пересечения с осью Ox: $-x^2 + 4x = 0 \Rightarrow -x(x-4)=0 \Rightarrow x=0, x=4$. Точки (0, 0) и (4, 0).

Строим часть графика для $x \ge 0$ — это дуга параболы с вершиной в (2, 4), проходящая через (0, 0) и (4, 0).Отражаем эту часть симметрично относительно оси Oy. Вершина (2, 4) отразится в (-2, 4), точка (4, 0) — в (-4, 0).График напоминает букву 'M'.

Ниже представлен график функции $y = -x^2 + 4|x|$.

Ответ: График функции построен.

4) y = -x^2 - |x|

Функция $y = -x^2 - |x|$ является четной, так как $y(-x) = -(-x)^2 - |-x| = -x^2 - |x| = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

Рассмотрим $x \ge 0$, тогда $|x| = x$ и функция принимает вид:$y = -x^2 - x$.Это парабола с ветвями вниз. Найдем ее вершину:$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot (-1)} = -1/2$.Вершина $x_0 = -1/2$ не принадлежит промежутку $x \ge 0$. На этом промежутке функция $y = -x^2 - x$ является убывающей.Найдем несколько точек:При $x = 0$, $y = 0$. Точка (0, 0). Это точка максимума для всей функции.При $x = 1$, $y = -1^2 - 1 = -2$. Точка (1, -2).При $x = 2$, $y = -2^2 - 2 = -6$. Точка (2, -6).

Строим часть графика для $x \ge 0$ и отражаем ее симметрично относительно оси Oy.Точкам (1, -2) и (2, -6) будут соответствовать точки (-1, -2) и (-2, -6).Объединив обе части, получаем итоговый график.

Ниже представлен график функции $y = -x^2 - |x|$.

Ответ: График функции построен.