Номер 17.26, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.26. Решите уравнение: $x^{-2} + x^{-4} + \dots + x^{-2(n-1)} + \dots = \frac{1}{8}$

Левая часть данного уравнения представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Первый член этой прогрессии $b_1 = x^{-2}$.

Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{x^{-4}}{x^{-2}} = x^{-2}$.

Сумма $S$ бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$. Эта формула применима только при условии, что модуль знаменателя прогрессии меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

В нашем случае условие сходимости имеет вид: $|x^{-2}| < 1$. Это равносильно неравенству $|\frac{1}{x^2}| < 1$. Поскольку $x^2$ является неотрицательной величиной (и не может быть равен нулю, так как $x$ в знаменателе), это неравенство можно записать как $\frac{1}{x^2} < 1$, что влечет за собой $x^2 > 1$, или $|x| > 1$.

Согласно условию задачи, сумма прогрессии равна $\frac{1}{8}$. Подставим известные значения в формулу суммы:

$\frac{x^{-2}}{1 - x^{-2}} = \frac{1}{8}$

Для удобства решения введем замену $y = x^{-2}$. Уравнение примет вид:

$\frac{y}{1 - y} = \frac{1}{8}$

Решим это уравнение относительно $y$, используя свойство пропорции:

$8y = 1(1 - y)$

$8y = 1 - y$

$9y = 1$

$y = \frac{1}{9}$

Теперь выполним обратную замену:

$x^{-2} = \frac{1}{9}$

Это можно записать как:

$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{9}$

Отсюда следует, что $x^2 = 9$.

Из последнего уравнения находим два корня:

$x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Осталось проверить, удовлетворяют ли найденные решения условию сходимости $|x| > 1$.

Для $x = 3$: $|3| = 3 > 1$. Условие выполняется.

Для $x = -3$: $|-3| = 3 > 1$. Условие также выполняется.

Оба корня удовлетворяют условию, следовательно, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $x = \pm 3$.