Номер 17.19, страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.19. Найдите значение суммы: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \frac{1}{8} - \frac{1}{27} + \dots$

Представленная сумма является бесконечным числовым рядом. Для нахождения его значения, разобьем ряд на две части, сгруппировав слагаемые по определенному признаку.

Заметим, что знаменатели слагаемых являются степенями чисел 2 и 3. Сгруппируем члены ряда в две последовательности.

Первая последовательность состоит из членов, знаменатели которых являются степенями двойки:$S_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \dots$Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Ее первый член $b_1 = \frac{1}{2}$, а знаменатель $q_1$ можно найти как отношение второго члена к первому: $q_1 = \frac{-1/4}{1/2} = -\frac{1}{2}$.Поскольку модуль знаменателя $|q_1| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, ряд сходится. Сумму такой прогрессии можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.$S_1 = \frac{\frac{1}{2}}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}$.

Вторая последовательность состоит из членов, знаменатели которых являются степенями тройки:$S_2 = -\frac{1}{3} - \frac{1}{9} - \frac{1}{27} - \dots$Вынесем знак минус за скобки: $S_2 = -(\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots)$.Выражение в скобках также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Ее первый член $c_1 = \frac{1}{3}$, а знаменатель $q_2 = \frac{1/9}{1/3} = \frac{1}{3}$.Поскольку $|q_2| = \frac{1}{3} < 1$, этот ряд также сходится.Найдем сумму прогрессии в скобках:$S' = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}$.Тогда сумма второй последовательности равна $S_2 = -S' = -\frac{1}{2}$.

Так как исходный ряд является абсолютно сходящимся (сумма модулей его членов конечна), его сумма равна сумме двух полученных подрядов.

Общая сумма $S$ равна:$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{3} + (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}$.Приводя к общему знаменателю, получаем:$S = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{1}{6}$.

Ответ: $-\frac{1}{6}$.