Номер 17.13, страница 155, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.13. Найдите значение суммы $\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} + \frac{2\sqrt{3} - 3}{2 + \sqrt{3}} + \dots$

Данная сумма представляет собой сумму членов бесконечной геометрической прогрессии. Обозначим члены этой прогрессии как $b_1, b_2, b_3, \dots$

Первый член прогрессии: $b_1 = \sqrt{3}$.

Второй член прогрессии: $b_2 = \frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$.

Третий член прогрессии: $b_3 = \frac{2\sqrt{3}-3}{2 + \sqrt{3}}$.

Для того чтобы определить, является ли эта последовательность геометрической прогрессией, найдем частное от деления второго члена на первый. Это будет наш предполагаемый знаменатель прогрессии $q$.

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$

Упростим выражение для $q$, умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(2 - \sqrt{3})$:

$q = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$.

Теперь проверим, соответствует ли третий член прогрессии этой закономерности, то есть выполняется ли равенство $b_3 = b_2 \cdot q$.

$b_2 \cdot q = \frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \cdot (2 - \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}}$.

Сравним это с исходным выражением для $b_3$. Преобразуем числитель $b_3$:

$2\sqrt{3}-3 = \sqrt{3} \cdot 2 - (\sqrt{3})^2 = \sqrt{3}(2 - \sqrt{3})$.

Таким образом, $b_3 = \frac{\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}}$.

Выражения совпали, следовательно, данная сумма действительно является суммой членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = \sqrt{3}$ и знаменателем $q = 2 - \sqrt{3}$.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии существует (сходится), если модуль ее знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Проверим это условие:

$q = 2 - \sqrt{3}$. Поскольку $1.7 < \sqrt{3} < 1.8$, то $0.2 < 2 - \sqrt{3} < 0.3$. Это значение находится в интервале $(-1, 1)$, так что $|q| < 1$. Прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти.

Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

Подставим наши значения $b_1$ и $q$:

$S = \frac{\sqrt{3}}{1 - (2 - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{1 - 2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$

Для упрощения ответа избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} + 1)$:

$S = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$.