Номер 17.7, страница 154, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.7.1) Найдите значение суммы бесконечной геометрической про- грессии, если ее второй член равен 9, а пятый член равен $ \frac{1}{3} $.

2) Найдите значение суммы бесконечной геометрической про- грессии, если ее третий член равен 25, а шестой член равен 0,2.

1)

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — ее знаменатель. Формула для n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
По условию задачи даны второй и пятый члены прогрессии:
$b_2 = 9$
$b_5 = \frac{1}{3}$
Используя формулу n-го члена, запишем систему уравнений:
$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q = 9$
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4 = \frac{1}{3}$
Чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, разделим второе уравнение на первое:
$\frac{b_1 q^4}{b_1 q} = \frac{1/3}{9}$
$q^3 = \frac{1}{27}$
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$
Так как $|q| = |\frac{1}{3}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумма существует. Теперь найдем первый член $b_1$, подставив значение $q$ в первое уравнение $b_1 \cdot q = 9$:
$b_1 \cdot \frac{1}{3} = 9$
$b_1 = 9 \cdot 3 = 27$
Сумма $S$ бесконечной геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.
Подставим найденные значения $b_1$ и $q$:
$S = \frac{27}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{27}{\frac{2}{3}} = 27 \cdot \frac{3}{2} = \frac{81}{2} = 40,5$
Ответ: 40,5

2)

Пусть $b_1$ — первый член бесконечной геометрической прогрессии, а $q$ — ее знаменатель. Формула для n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
По условию задачи даны третий и шестой члены прогрессии:
$b_3 = 25$
$b_6 = 0,2 = \frac{1}{5}$
Составим систему уравнений на основе формулы n-го члена:
$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2 = 25$
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5 = \frac{1}{5}$
Чтобы найти знаменатель $q$, разделим второе уравнение на первое:
$\frac{b_1 q^5}{b_1 q^2} = \frac{1/5}{25}$
$q^3 = \frac{1}{125}$
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \frac{1}{5}$
Так как $|q| = |\frac{1}{5}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и можно найти ее сумму.
Найдем первый член $b_1$, подставив значение $q$ в первое уравнение $b_1 \cdot q^2 = 25$:
$b_1 \cdot (\frac{1}{5})^2 = 25$
$b_1 \cdot \frac{1}{25} = 25$
$b_1 = 25 \cdot 25 = 625$
Сумма $S$ бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.
Подставим найденные значения $b_1$ и $q$:
$S = \frac{625}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{625}{\frac{4}{5}} = 625 \cdot \frac{5}{4} = \frac{3125}{4} = 781,25$
Ответ: 781,25