Номер 17.4, страница 154, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.4. Запишите в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь: 1) $0.\overline{3}$; 2) $14.\overline{17}$; 3) $2.\overline{126}$; 4) $3.\overline{71}$.

1) 0,(3)

Чтобы преобразовать чистую периодическую дробь в обыкновенную, нужно в числитель поставить период, а в знаменатель — число, состоящее из девяток, количество которых равно количеству цифр в периоде.

Однако, решим задачу алгебраическим методом. Пусть $x = 0,(3)$. Это означает $x = 0,333...$

Умножим обе части уравнения на 10, так как в периоде одна цифра:

$10x = 3,333...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое:

$10x - x = 3,333... - 0,333...$

$9x = 3$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{3}{9}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$x = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

2) 14,(17)

Пусть $x = 14,(17)$, что означает $x = 14,171717...$

Это смешанная периодическая дробь. Период состоит из двух цифр (17). Умножим уравнение на $10^2 = 100$:

$100x = 1417,171717...$

Вычтем из полученного уравнения исходное:

$100x - x = 1417,171717... - 14,171717...$

$99x = 1417 - 14$

$99x = 1403$

Решим уравнение относительно $x$:

$x = \frac{1403}{99}$

Дробь несократимая. Ее можно представить в виде смешанного числа $14\frac{17}{99}$.

Ответ: $\frac{1403}{99}$

3) 2,(126)

Пусть $x = 2,(126)$, что означает $x = 2,126126126...$

Период дроби (126) состоит из трех цифр. Умножим уравнение на $10^3 = 1000$:

$1000x = 2126,126126...$

Вычтем из полученного уравнения исходное:

$1000x - x = 2126,126126... - 2,126126...$

$999x = 2126 - 2$

$999x = 2124$

Найдем $x$:

$x = \frac{2124}{999}$

Сократим дробь. Сумма цифр числителя $(2+1+2+4=9)$ и знаменателя $(9+9+9=27)$ делятся на 9, поэтому дробь можно сократить на 9:

$2124 \div 9 = 236$

$999 \div 9 = 111$

Таким образом, $x = \frac{236}{111}$.

В виде смешанного числа это $2\frac{14}{111}$.

Ответ: $\frac{236}{111}$

4) 3,(71)

Пусть $x = 3,(71)$, что означает $x = 3,717171...$

Период дроби (71) состоит из двух цифр. Умножим уравнение на $10^2 = 100$:

$100x = 371,717171...$

Вычтем из этого уравнения исходное:

$100x - x = 371,717171... - 3,717171...$

$99x = 371 - 3$

$99x = 368$

Найдем $x$:

$x = \frac{368}{99}$

Дробь несократимая. В виде смешанного числа это $3\frac{71}{99}$.

Ответ: $\frac{368}{99}$