Номер 16.37, страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.37. Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ составляют геометрическую прогрессию.

Выразите через $a_1, n \text{ и } q$ сумму:

1) $a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2;$

2) $(a_1 + 1)^2 + (a_2 + 1)^2 + \dots + (a_n + 1)^2.$

1) Пусть дана геометрическая прогрессия $a_1, a_2, \dots, a_n$ с первым членом $a_1$ и знаменателем $q$. Общий член прогрессии задается формулой $a_k = a_1 q^{k-1}$.
Требуется найти сумму $S_1 = a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2 = \sum_{k=1}^{n} a_k^2$.
Рассмотрим последовательность, состоящую из квадратов членов исходной прогрессии: $a_1^2, a_2^2, \dots, a_n^2$.
Общий член этой новой последовательности равен $a_k^2 = (a_1 q^{k-1})^2 = a_1^2 (q^2)^{k-1}$.
Эта последовательность также является геометрической прогрессией. Обозначим ее члены как $b_k = a_k^2$.
Первый член этой новой прогрессии $b_1 = a_1^2$.
Знаменатель новой прогрессии $q'$ равен отношению любого ее члена (кроме первого) к предыдущему: $q' = \frac{b_{k+1}}{b_k} = \frac{a_{k+1}^2}{a_k^2} = \frac{(a_1 q^k)^2}{(a_1 q^{k-1})^2} = \frac{a_1^2 q^{2k}}{a_1^2 q^{2k-2}} = q^2$.
Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = b_1 \frac{(q')^n - 1}{q' - 1}$, при условии, что $q' \neq 1$.
Подставив наши значения $b_1 = a_1^2$ и $q' = q^2$, получаем искомую сумму:
$S_1 = a_1^2 \frac{(q^2)^n - 1}{q^2 - 1} = a_1^2 \frac{q^{2n} - 1}{q^2 - 1}$.
Эта формула верна при условии $q^2 \neq 1$, то есть $q \neq 1$ и $q \neq -1$. В случае $q^2=1$, все члены последовательности $b_k$ равны $a_1^2$, и их сумма равна $n a_1^2$.
Ответ: $a_1^2 \frac{q^{2n} - 1}{q^2 - 1}$ (при $q^2 \neq 1$).

2) Требуется найти сумму $S_2 = (a_1 + 1)^2 + (a_2 + 1)^2 + \dots + (a_n + 1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (a_k + 1)^2$.
Сначала раскроем квадрат каждого члена суммы: $(a_k + 1)^2 = a_k^2 + 2a_k + 1$.
Теперь сумму $S_2$ можно переписать в следующем виде:
$S_2 = \sum_{k=1}^{n} (a_k^2 + 2a_k + 1)$.
Используя свойство аддитивности суммы, мы можем разбить ее на три отдельные суммы:
$S_2 = \sum_{k=1}^{n} a_k^2 + \sum_{k=1}^{n} 2a_k + \sum_{k=1}^{n} 1$.
Вычислим каждую из этих сумм:
1. Сумма $\sum_{k=1}^{n} a_k^2$ была найдена в пункте 1). Она равна $a_1^2 \frac{q^{2n} - 1}{q^2 - 1}$ (при $q^2 \neq 1$).
2. Сумма $\sum_{k=1}^{n} 2a_k = 2 \sum_{k=1}^{n} a_k$. Выражение $\sum_{k=1}^{n} a_k$ является суммой исходной геометрической прогрессии, которая вычисляется по формуле $a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$ (при $q \neq 1$). Таким образом, $2 \sum_{k=1}^{n} a_k = 2a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$.
3. Сумма $\sum_{k=1}^{n} 1$ представляет собой сумму $n$ единиц, то есть $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$.
Объединяя все три части, получаем выражение для $S_2$:
$S_2 = a_1^2 \frac{q^{2n} - 1}{q^2 - 1} + 2a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} + n$.
Эта формула справедлива, когда знаменатели в дробях не равны нулю, то есть при $q^2 \neq 1$ (что включает в себя и $q \neq 1$).
Ответ: $a_1^2 \frac{q^{2n} - 1}{q^2 - 1} + 2a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} + n$ (при $q^2 \neq 1$).