Вопросы, страница 153, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В каком случае бесконечная геометрическая прогрессия будет убывающей?

1. Решение

Геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ называется убывающей, если каждый её следующий член строго меньше предыдущего. Математически это выражается неравенством $b_{n+1} < b_n$ для всех натуральных $n$.

Используя формулу для члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$, получаем:

$b_1 q^n < b_1 q^{n-1}$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель:

$b_1 q^n - b_1 q^{n-1} < 0$

$b_1 q^{n-1}(q - 1) < 0$

Для того чтобы это неравенство выполнялось, необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака первого члена $b_1$. Отметим, что если $q \le 0$, прогрессия не будет монотонно убывающей (при $q < 0$ знаки членов чередуются, а при $q=0$ она перестает быть строго убывающей после второго члена). Поэтому будем рассматривать только случай $q > 0$.

Случай 1: Первый член положителен ($b_1 > 0$)

Если $b_1 > 0$ и $q > 0$, то множитель $b_1 q^{n-1}$ всегда положителен. Чтобы произведение $b_1 q^{n-1}(q - 1)$ было отрицательным, второй множитель должен быть отрицательным:

$q - 1 < 0 \implies q < 1$

Таким образом, в этом случае прогрессия убывает при $b_1 > 0$ и $0 < q < 1$.

Пример: 10, 5, 2.5, ... ($b_1 = 10$, $q = 0.5$).

Случай 2: Первый член отрицателен ($b_1 < 0$)

Если $b_1 < 0$ и $q > 0$, то множитель $b_1 q^{n-1}$ всегда отрицателен. Чтобы произведение $b_1 q^{n-1}(q - 1)$ было отрицательным, второй множитель $(q - 1)$ должен быть положительным (произведение отрицательного и положительного чисел отрицательно):

$q - 1 > 0 \implies q > 1$

Таким образом, в этом случае прогрессия убывает при $b_1 < 0$ и $q > 1$.

Пример: -1, -2, -4, ... ($b_1 = -1$, $q = 2$).

Ответ: Бесконечная геометрическая прогрессия является убывающей, если выполняется одно из двух условий:

1. Её первый член положителен ($b_1 > 0$), а знаменатель $q$ удовлетворяет неравенству $0 < q < 1$.

2. Её первый член отрицателен ($b_1 < 0$), а знаменатель $q$ удовлетворяет неравенству $q > 1$.