Страница 153, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. В каком случае бесконечная геометрическая прогрессия будет убывающей?

1. Решение

Геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$ называется убывающей, если каждый её следующий член строго меньше предыдущего. Математически это выражается неравенством $b_{n+1} < b_n$ для всех натуральных $n$.

Используя формулу для члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$, получаем:

$b_1 q^n < b_1 q^{n-1}$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель:

$b_1 q^n - b_1 q^{n-1} < 0$

$b_1 q^{n-1}(q - 1) < 0$

Для того чтобы это неравенство выполнялось, необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака первого члена $b_1$. Отметим, что если $q \le 0$, прогрессия не будет монотонно убывающей (при $q < 0$ знаки членов чередуются, а при $q=0$ она перестает быть строго убывающей после второго члена). Поэтому будем рассматривать только случай $q > 0$.

Случай 1: Первый член положителен ($b_1 > 0$)

Если $b_1 > 0$ и $q > 0$, то множитель $b_1 q^{n-1}$ всегда положителен. Чтобы произведение $b_1 q^{n-1}(q - 1)$ было отрицательным, второй множитель должен быть отрицательным:

$q - 1 < 0 \implies q < 1$

Таким образом, в этом случае прогрессия убывает при $b_1 > 0$ и $0 < q < 1$.

Пример: 10, 5, 2.5, ... ($b_1 = 10$, $q = 0.5$).

Случай 2: Первый член отрицателен ($b_1 < 0$)

Если $b_1 < 0$ и $q > 0$, то множитель $b_1 q^{n-1}$ всегда отрицателен. Чтобы произведение $b_1 q^{n-1}(q - 1)$ было отрицательным, второй множитель $(q - 1)$ должен быть положительным (произведение отрицательного и положительного чисел отрицательно):

$q - 1 > 0 \implies q > 1$

Таким образом, в этом случае прогрессия убывает при $b_1 < 0$ и $q > 1$.

Пример: -1, -2, -4, ... ($b_1 = -1$, $q = 2$).

Ответ: Бесконечная геометрическая прогрессия является убывающей, если выполняется одно из двух условий:

1. Её первый член положителен ($b_1 > 0$), а знаменатель $q$ удовлетворяет неравенству $0 < q < 1$.

2. Её первый член отрицателен ($b_1 < 0$), а знаменатель $q$ удовлетворяет неравенству $q > 1$.

17.1. Найдите значение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

1) 1; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{9}$; ... ;

2) -25; -5; -1; -0,2; ... ;

3) 6; 1; $\frac{1}{6}$; $\frac{1}{36}$ ... .

Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель, при условии $|q| < 1$.

1)

Дана последовательность $1; \frac{1}{3}; \frac{1}{9}; ...$

Это геометрическая прогрессия, так как отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно.

Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/3}{1} = \frac{1}{3}$.

Проверим условие сходимости: $|q| = |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$. Условие выполняется, значит, можно найти сумму.

Вычислим сумму по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: $1,5$.

2)

Дана последовательность $-25; -5; -1; -0,2; ...$

Первый член прогрессии $b_1 = -25$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-5}{-25} = \frac{1}{5} = 0,2$.

Проверим условие сходимости: $|q| = |\frac{1}{5}| = \frac{1}{5} < 1$. Условие выполняется.

Вычислим сумму по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{-25}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{-25}{\frac{5}{5} - \frac{1}{5}} = \frac{-25}{\frac{4}{5}} = -25 \cdot \frac{5}{4} = -\frac{125}{4} = -31,25$.

Ответ: $-31,25$.

3)

Дана последовательность $6; 1; \frac{1}{6}; \frac{1}{36}; ...$

Первый член прогрессии $b_1 = 6$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{6}$.

Проверим условие сходимости: $|q| = |\frac{1}{6}| = \frac{1}{6} < 1$. Условие выполняется.

Вычислим сумму по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{6}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{6}{\frac{6}{6} - \frac{1}{6}} = \frac{6}{\frac{5}{6}} = 6 \cdot \frac{6}{5} = \frac{36}{5} = 7,2$.

Ответ: $7,2$.

17.2. Найдите значение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:

1) $b_1 = -20, q = \frac{1}{7}$;

2) $b_1 = 16, q = \frac{1}{4}$.

1) Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, при условии, что знаменатель прогрессии $q$ по модулю меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

В данном задании даны первый член прогрессии $b_1 = -20$ и знаменатель $q = \frac{1}{7}$.

Проверим условие для знаменателя: $|q| = |\frac{1}{7}| = \frac{1}{7}$. Так как $\frac{1}{7} < 1$, то данная прогрессия является бесконечно убывающей, и мы можем использовать формулу для нахождения ее суммы.

Подставим данные значения в формулу:

$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{-20}{1 - \frac{1}{7}}$

Вычислим знаменатель дроби:

$1 - \frac{1}{7} = \frac{7}{7} - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$

Теперь найдем значение суммы:

$S = \frac{-20}{\frac{6}{7}} = -20 \cdot \frac{7}{6} = -\frac{20 \cdot 7}{6} = -\frac{140}{6} = -\frac{70}{3}$

При желании можно выделить целую часть: $-\frac{70}{3} = -23\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{70}{3}$

2) Используем ту же формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Даны значения: $b_1 = 16$ и $q = \frac{1}{4}$.

Проверим условие для знаменателя: $|q| = |\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$. Так как $\frac{1}{4} < 1$, условие выполняется.

Подставим значения в формулу:

$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{16}{1 - \frac{1}{4}}$

Вычислим знаменатель дроби:

$1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Теперь найдем значение суммы:

$S = \frac{16}{\frac{3}{4}} = 16 \cdot \frac{4}{3} = \frac{64}{3}$

Выделим целую часть: $\frac{64}{3} = 21\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{64}{3}$