Номер 17.2, страница 153, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.2. Найдите значение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:

1) $b_1 = -20, q = \frac{1}{7}$;

2) $b_1 = 16, q = \frac{1}{4}$.

1) Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$, при условии, что знаменатель прогрессии $q$ по модулю меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

В данном задании даны первый член прогрессии $b_1 = -20$ и знаменатель $q = \frac{1}{7}$.

Проверим условие для знаменателя: $|q| = |\frac{1}{7}| = \frac{1}{7}$. Так как $\frac{1}{7} < 1$, то данная прогрессия является бесконечно убывающей, и мы можем использовать формулу для нахождения ее суммы.

Подставим данные значения в формулу:

$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{-20}{1 - \frac{1}{7}}$

Вычислим знаменатель дроби:

$1 - \frac{1}{7} = \frac{7}{7} - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$

Теперь найдем значение суммы:

$S = \frac{-20}{\frac{6}{7}} = -20 \cdot \frac{7}{6} = -\frac{20 \cdot 7}{6} = -\frac{140}{6} = -\frac{70}{3}$

При желании можно выделить целую часть: $-\frac{70}{3} = -23\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{70}{3}$

2) Используем ту же формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1-q}$.

Даны значения: $b_1 = 16$ и $q = \frac{1}{4}$.

Проверим условие для знаменателя: $|q| = |\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$. Так как $\frac{1}{4} < 1$, условие выполняется.

Подставим значения в формулу:

$S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{16}{1 - \frac{1}{4}}$

Вычислим знаменатель дроби:

$1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Теперь найдем значение суммы:

$S = \frac{16}{\frac{3}{4}} = 16 \cdot \frac{4}{3} = \frac{64}{3}$

Выделим целую часть: $\frac{64}{3} = 21\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{64}{3}$