Номер 16.38, страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.38. В геометрической прогрессии ($b_n$) найдите $S_n$, если:

1) $b_1 = 1, q = 2, n = 11$;

2) $b_1 = 81, q = \frac{1}{3}, n = 5$.

1) Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) используется формула: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
В данном случае нам даны: первый член прогрессии $b_1 = 1$, знаменатель прогрессии $q = 2$ и количество членов $n = 11$.
Подставим эти значения в формулу:
$S_{11} = \frac{1 \cdot (2^{11} - 1)}{2 - 1}$
Вычислим значение $2^{11}$:
$2^{10} = 1024$, следовательно, $2^{11} = 1024 \cdot 2 = 2048$.
Теперь вычислим сумму:
$S_{11} = \frac{2048 - 1}{1} = 2047$.
Ответ: $2047$

2) Для вычисления суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии, когда знаменатель $q$ меньше 1, удобнее использовать эквивалентную формулу: $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.
Нам даны: $b_1 = 81$, $q = \frac{1}{3}$ и $n = 5$.
Подставим значения в формулу:
$S_5 = \frac{81(1 - (\frac{1}{3})^5)}{1 - \frac{1}{3}}$
Вычислим значение $(\frac{1}{3})^5$:
$(\frac{1}{3})^5 = \frac{1^5}{3^5} = \frac{1}{243}$.
Теперь подставим это значение в основное выражение и упростим его:
$S_5 = \frac{81(1 - \frac{1}{243})}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{81(\frac{243 - 1}{243})}{\frac{3 - 1}{3}} = \frac{81 \cdot \frac{242}{243}}{\frac{2}{3}}$
Упростим числитель дроби, зная, что $243 = 81 \cdot 3$:
$81 \cdot \frac{242}{243} = \frac{81 \cdot 242}{81 \cdot 3} = \frac{242}{3}$.
Теперь выполним деление:
$S_5 = \frac{\frac{242}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{242}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{242}{2} = 121$.
Ответ: $121$