Номер 16.32, страница 149, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.32. Решите неравенство:

1) $(x-1) \cdot (x-6) < 50;$

2) $(x-14) \cdot (x-2) > 64.$

1) $(x - 1) \cdot (x - 6) < 50$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$x^2 - 6x - x + 6 < 50$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 7x + 6 - 50 < 0$

$x^2 - 7x - 44 < 0$

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение, чтобы найти корни параболы $y = x^2 - 7x - 44$:

$x^2 - 7x - 44 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 49 + 176 = 225 = 15^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 15}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 15}{2 \cdot 1} = \frac{22}{2} = 11$

Мы получили квадратное неравенство $x^2 - 7x - 44 < 0$. Графиком функции $y = x^2 - 7x - 44$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=-4$ и $x=11$. Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Изобразим решение на числовой прямой (метод интервалов):

Таким образом, решение неравенства есть интервал $(-4; 11)$.

Ответ: $x \in (-4; 11)$.

2) $(x - 14) \cdot (x - 2) > 64$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$x^2 - 2x - 14x + 28 > 64$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 16x + 28 - 64 > 0$

$x^2 - 16x - 36 > 0$

Решим соответствующее квадратное уравнение, чтобы найти корни параболы $y = x^2 - 16x - 36$:

$x^2 - 16x - 36 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 256 + 144 = 400 = 20^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 20}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 20}{2 \cdot 1} = \frac{36}{2} = 18$

Мы получили квадратное неравенство $x^2 - 16x - 36 > 0$. Графиком функции $y = x^2 - 16x - 36$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=-2$ и $x=18$. Неравенство $y > 0$ выполняется на интервалах вне корней.

Изобразим решение на числовой прямой (метод интервалов):

Таким образом, решение неравенства есть объединение интервалов $(-\infty; -2)$ и $(18; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (18; +\infty)$.