Номер 16.26, страница 148, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*16.26. В возрастающей геометрической прогрессии первый член равен 1, а значение суммы первых ее пяти членов в 16 раз больше значения суммы обратных этим же членам чисел. Найдите значение суммы первых десяти членов этой прогрессии.

Пусть $b_n$ – возрастающая геометрическая прогрессия, $b_1$ – ее первый член, $q$ – ее знаменатель.

По условию задачи, первый член прогрессии $b_1 = 1$. Так как прогрессия является возрастающей, ее знаменатель $q > 1$.

Сумма первых пяти членов прогрессии $S_5$ находится по формуле суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$.

Для нашей прогрессии:$S_5 = \frac{1 \cdot (q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{q^5 - 1}{q - 1}$.

Рассмотрим последовательность чисел, обратных первым пяти членам данной прогрессии: $\frac{1}{b_1}, \frac{1}{b_2}, \frac{1}{b_3}, \frac{1}{b_4}, \frac{1}{b_5}$. Эта последовательность также является геометрической прогрессией. Обозначим ее как $c_n$.

Первый член этой новой прогрессии $c_1 = \frac{1}{b_1} = 1$.Знаменатель этой прогрессии $q' = \frac{c_2}{c_1} = \frac{1/b_2}{1/b_1} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{b_1}{b_1 q} = \frac{1}{q}$.

Сумма первых пяти членов этой новой прогрессии (то есть сумма обратных чисел) $S'_5$ равна:$S'_5 = \frac{c_1((q')^5 - 1)}{q' - 1} = \frac{1 \cdot ((\frac{1}{q})^5 - 1)}{\frac{1}{q} - 1} = \frac{\frac{1-q^5}{q^5}}{\frac{1-q}{q}} = \frac{1-q^5}{q^5} \cdot \frac{q}{1-q} = \frac{-(q^5-1)}{q^5} \cdot \frac{q}{-(q-1)} = \frac{q^5-1}{q^4(q-1)}$.

Согласно условию задачи, сумма первых пяти членов в 16 раз больше суммы обратных им чисел: $S_5 = 16 \cdot S'_5$.

Составим уравнение, подставив найденные выражения для $S_5$ и $S'_5$:$\frac{q^5 - 1}{q - 1} = 16 \cdot \frac{q^5 - 1}{q^4(q - 1)}$.

Поскольку $q > 1$, то $q-1 \neq 0$ и $q^5-1 \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $\frac{q^5 - 1}{q - 1}$:$1 = \frac{16}{q^4}$.

Отсюда следует, что $q^4 = 16$.Так как $q$ – действительное число и $q > 1$, единственное решение – это $q = 2$.

Теперь найдем сумму первых десяти членов исходной прогрессии $S_{10}$, зная что $b_1 = 1$ и $q = 2$.$S_{10} = \frac{b_1(q^{10} - 1)}{q - 1} = \frac{1 \cdot (2^{10} - 1)}{2 - 1} = \frac{1024 - 1}{1} = 1023$.

Ответ: 1023.