Номер 16.29, страница 149, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.29. Найдите пятый член возрастающей геометрической прогрессии, если известно, что ее первый член равен $7 - 3\sqrt{5}$ и каждый ее член, начиная со второго, равен разности двух соседних с ним членов.

Пусть $b_n$ — это геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$.

По условию задачи, первый член прогрессии равен $b_1 = 7 - 3\sqrt{5}$.

Также известно, что прогрессия является возрастающей. Давайте определим знак первого члена. Сравним $7$ и $3\sqrt{5}$. Для этого сравним их квадраты: $7^2 = 49$ и $(3\sqrt{5})^2 = 9 \times 5 = 45$. Так как $49 > 45$, то $7 > 3\sqrt{5}$, и следовательно, $b_1 = 7 - 3\sqrt{5} > 0$. Для того чтобы геометрическая прогрессия с положительным первым членом была возрастающей, ее знаменатель $q$ должен быть больше единицы, то есть $q > 1$.

Другое условие задачи гласит, что каждый член прогрессии, начиная со второго, равен разности двух соседних с ним членов. Для любого $n \ge 2$ это можно записать в виде формулы: $b_n = b_{n+1} - b_{n-1}$.

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим выражения для $b_{n-1}$, $b_n$ и $b_{n+1}$ в полученное равенство:

$b_1 \cdot q^{n-1} = b_1 \cdot q^{n} - b_1 \cdot q^{n-2}$

Поскольку $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$ (так как прогрессия возрастающая), мы можем разделить обе части уравнения на $b_1 \cdot q^{n-2}$:

$q = q^2 - 1$

Мы получили квадратное уравнение относительно $q$:

$q^2 - q - 1 = 0$

Найдем его корни по формуле для корней квадратного уравнения:

$q = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Таким образом, у нас есть два возможных значения для знаменателя прогрессии: $q_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и $q_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.

Как мы установили ранее, для возрастающей прогрессии с положительным первым членом знаменатель должен быть $q > 1$.

Оценим $q_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Поскольку $2 < \sqrt{5} < 3$, то $1+2 < 1+\sqrt{5} < 1+3$, т.е. $3 < 1+\sqrt{5} < 4$. Отсюда $\frac{3}{2} < \frac{1+\sqrt{5}}{2} < 2$, что означает $q_1 > 1$. Этот корень подходит.

Оценим $q_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$. Поскольку $\sqrt{5} > 1$, числитель $1-\sqrt{5}$ отрицателен, значит, $q_2 < 0$. Прогрессия с отрицательным знаменателем не является возрастающей (знаки ее членов чередуются). Этот корень не подходит.

Итак, знаменатель прогрессии равен $q = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Теперь нам нужно найти пятый член прогрессии, $b_5$. Формула для него: $b_5 = b_1 \cdot q^4$.

Найдем $q^2$ и $q^4$. Из уравнения $q^2 - q - 1 = 0$ следует, что $q^2 = q + 1$.

$q^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + 1 = \frac{1 + \sqrt{5} + 2}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Теперь найдем $q^4$:

$q^4 = (q^2)^2 = \left(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{2^2} = \frac{9 + 6\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$

Наконец, вычислим $b_5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^4 = (7 - 3\sqrt{5}) \cdot \left(\frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}\right)$

В числителе мы видим произведение разности и суммы двух выражений, которое равно разности их квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$b_5 = \frac{(7 - 3\sqrt{5})(7 + 3\sqrt{5})}{2} = \frac{7^2 - (3\sqrt{5})^2}{2} = \frac{49 - 9 \cdot 5}{2} = \frac{49 - 45}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: 2