Номер 16.24, страница 148, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.24. 1) Найдите значение суммы членов геометрической прогрессии с 15 члена по 21 включительно, если $S_7 = 14$, $S_{14} = 18$.

2) В геометрической прогрессии с четным числом членов значение суммы всех ее членов в 3 раза больше значения суммы членов, стоящих на нечетных местах. Найдите знаменатель прогрессии.

1)

Пусть $(b_n)$ - данная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Сумма первых $n$ членов прогрессии вычисляется по формуле $S_n = b_1 \frac{1-q^n}{1-q}$ (при $q \neq 1$).

По условию задачи даны сумма первых 7 членов, $S_7 = 14$, и сумма первых 14 членов, $S_{14} = 18$.

Запишем формулы для этих сумм:

$S_7 = b_1 \frac{1-q^7}{1-q} = 14$

$S_{14} = b_1 \frac{1-q^{14}}{1-q} = 18$

Выразим $S_{14}$ через $S_7$, используя формулу разности квадратов для числителя: $1-q^{14} = (1-q^7)(1+q^7)$.

$S_{14} = b_1 \frac{(1-q^7)(1+q^7)}{1-q} = \left(b_1 \frac{1-q^7}{1-q}\right)(1+q^7) = S_7(1+q^7)$.

Подставим известные значения:

$18 = 14(1+q^7)$

Отсюда находим $(1+q^7)$:

$1+q^7 = \frac{18}{14} = \frac{9}{7}$

Теперь найдем $q^7$:

$q^7 = \frac{9}{7} - 1 = \frac{2}{7}$

Нам необходимо найти сумму членов с 15-го по 21-й включительно. Обозначим эту сумму как $S_{15-21}$.

$S_{15-21} = b_{15} + b_{16} + \dots + b_{21}$.

Эта сумма представляет собой сумму 7 членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен $b_{15} = b_1 q^{14}$, а знаменатель равен $q$.

Сумму можно вычислить по формуле:

$S_{15-21} = b_{15} \frac{1-q^7}{1-q} = (b_1 q^{14}) \frac{1-q^7}{1-q} = q^{14} \left(b_1 \frac{1-q^7}{1-q}\right) = q^{14} S_7$.

Мы знаем, что $q^7 = \frac{2}{7}$, следовательно, $q^{14} = (q^7)^2 = \left(\frac{2}{7}\right)^2 = \frac{4}{49}$.

Теперь можем вычислить искомую сумму:

$S_{15-21} = \frac{4}{49} \cdot S_7 = \frac{4}{49} \cdot 14 = \frac{4 \cdot 14}{49} = \frac{56}{49} = \frac{8}{7}$.

Ответ: $\frac{8}{7}$

2)

Пусть в геометрической прогрессии четное число членов, $n = 2k$, где $k$ — натуральное число. Первый член прогрессии равен $b_1$, а знаменатель — $q$.

Сумма всех ее членов равна $S_{2k} = b_1 + b_2 + \dots + b_{2k}$.

Сумма членов, стоящих на нечетных местах, равна $S_{нечет} = b_1 + b_3 + \dots + b_{2k-1}$.

Сумма членов, стоящих на четных местах, равна $S_{чет} = b_2 + b_4 + \dots + b_{2k}$.

Очевидно, что общая сумма равна сумме членов на четных и нечетных местах: $S_{2k} = S_{нечет} + S_{чет}$.

По условию задачи, сумма всех членов в 3 раза больше суммы членов, стоящих на нечетных местах:

$S_{2k} = 3 S_{нечет}$.

Приравняем два выражения для $S_{2k}$:

$S_{нечет} + S_{чет} = 3 S_{нечет}$

Отсюда получаем связь между суммой членов на четных и нечетных местах:

$S_{чет} = 2 S_{нечет}$.

Теперь выразим $S_{чет}$ через $S_{нечет}$ и знаменатель прогрессии $q$. Каждый член, стоящий на четном месте, получается умножением предыдущего члена (стоящего на нечетном месте) на $q$:

$b_2 = q b_1$

$b_4 = q b_3$

...

$b_{2k} = q b_{2k-1}$

Следовательно, сумма членов на четных местах может быть записана как:

$S_{чет} = b_2 + b_4 + \dots + b_{2k} = qb_1 + qb_3 + \dots + qb_{2k-1} = q(b_1 + b_3 + \dots + b_{2k-1}) = q S_{нечет}$.

Подставим это выражение в полученное ранее соотношение $S_{чет} = 2 S_{нечет}$:

$q S_{нечет} = 2 S_{нечет}$.

Если предположить, что прогрессия не является тривиальной (т.е. не все ее члены равны нулю), то сумма членов на нечетных местах $S_{нечет}$ не равна нулю. В этом случае мы можем разделить обе части равенства на $S_{нечет}$:

$q = 2$.

Ответ: $2$