Номер 16.22, страница 148, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.22. В геометрической прогрессии $b_n$ значение суммы первого и пятого членов равно 51, а значение суммы второго и шестого членов равно 102. Сколько членов этой прогрессии надо взять, чтобы значение их суммы было равно 3069?

Пусть $(b_n)$ – данная геометрическая прогрессия, $b_1$ – ее первый член, а $q$ – ее знаменатель.

По условию задачи, сумма первого и пятого членов равна 51, а сумма второго и шестого членов равна 102. Запишем эти условия в виде уравнений:

$b_1 + b_5 = 51$

$b_2 + b_6 = 102$

Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, перепишем эти уравнения:

$b_1 + b_1 q^4 = 51$

$b_1 q + b_1 q^5 = 102$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении, чтобы получить систему:

$b_1(1 + q^4) = 51$

$b_1 q(1 + q^4) = 102$

Разделим второе уравнение на первое. Так как правые части уравнений не равны нулю, то $b_1 \neq 0$ и $(1+q^4) \neq 0$, следовательно, такое деление возможно:

$\frac{b_1 q(1 + q^4)}{b_1(1 + q^4)} = \frac{102}{51}$

Отсюда находим знаменатель прогрессии:

$q = 2$

Теперь подставим найденное значение $q=2$ в первое уравнение, чтобы найти первый член прогрессии $b_1$:

$b_1(1 + 2^4) = 51$

$b_1(1 + 16) = 51$

$b_1 \cdot 17 = 51$

$b_1 = \frac{51}{17} = 3$

Итак, мы определили, что первый член прогрессии $b_1=3$ и ее знаменатель $q=2$.

Далее, необходимо найти, сколько членов этой прогрессии $n$ нужно взять, чтобы их сумма $S_n$ была равна 3069. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим известные значения $S_n=3069$, $b_1=3$ и $q=2$ в формулу:

$3069 = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1}$

$3069 = 3(2^n - 1)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $n$:

$2^n - 1 = \frac{3069}{3}$

$2^n - 1 = 1023$

$2^n = 1023 + 1$

$2^n = 1024$

Мы знаем, что $1024 = 2^{10}$. Следовательно:

$n = 10$

Таким образом, нужно взять 10 членов прогрессии, чтобы их сумма была равна 3069.

Ответ: 10