Номер 16.15, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.15. В геометрической прогрессии $(b_n)$ известно, что

$S_3 = 6, b_1 + b_3 + b_5 = 10.5$. Найдите $q$.

Пусть $(b_n)$ — заданная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$.

По условию, сумма первых трех членов прогрессии равна 6. Запишем это в виде уравнения, используя формулу для n-го члена $b_n = b_1 q^{n-1}$:

$S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = 6$

Вынесем $b_1$ за скобки:

$b_1(1 + q + q^2) = 6$ (1)

Также по условию, сумма первого, третьего и пятого членов равна 10,5:

$b_1 + b_3 + b_5 = b_1 + b_1q^2 + b_1q^4 = 10,5$

Вынесем $b_1$ за скобки:

$b_1(1 + q^2 + q^4) = 10,5$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$. Чтобы найти $q$, разделим уравнение (2) на уравнение (1). Это возможно, так как $b_1 \neq 0$ (иначе суммы были бы равны нулю) и $1+q+q^2 \neq 0$ для любых действительных $q$.

$\frac{b_1(1 + q^2 + q^4)}{b_1(1 + q + q^2)} = \frac{10,5}{6}$

Сократим $b_1$ в левой части и упростим дробь в правой части:

$\frac{1 + q^2 + q^4}{1 + q + q^2} = \frac{21}{12} = \frac{7}{4}$

Для дальнейшего упрощения левой части воспользуемся тождеством $1 + q^2 + q^4 = (1 + q + q^2)(1 - q + q^2)$. Подставим это в наше уравнение:

$\frac{(1 + q + q^2)(1 - q + q^2)}{1 + q + q^2} = \frac{7}{4}$

Сократим общий множитель $(1 + q + q^2)$:

$1 - q + q^2 = \frac{7}{4}$

Теперь решим полученное квадратное уравнение относительно $q$:

$q^2 - q + 1 - \frac{7}{4} = 0$

$q^2 - q + \frac{4}{4} - \frac{7}{4} = 0$

$q^2 - q - \frac{3}{4} = 0$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:

$4q^2 - 4q - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения по формуле:

$q = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3)}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{8} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{8} = \frac{4 \pm 8}{8}$

Отсюда получаем два возможных значения для $q$:

$q_1 = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$

$q_2 = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} = -0,5$

Оба значения удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: $1,5$; $-0,5$.