Номер 16.8, страница 146, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.8. В геометрической прогрессии ($b_n$) найдите $b_1$ и $n$, если:

1) $q = 0,5, b_n = 3, S_n = 93;$

2) $q = 3, b_n = 54, S_n = \frac{242}{3};$

3) $q = -2, b_n = -4, S_n = -\frac{63}{24};$

4) $q = -\frac{1}{3}, b_n = -\frac{1}{3}, S_n = \frac{182}{3}.$

1) Для нахождения $b_1$ и $n$ воспользуемся формулами для n-го члена и суммы n первых членов геометрической прогрессии: $b_n = b_1 q^{n-1}$ и $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q-1}$.
Дано: $q = 0,5$, $b_n = 3$, $S_n = 93$.
Сначала найдем $b_1$ из формулы суммы. Выразим $b_1$:
$S_n(q-1) = b_n q - b_1$
$b_1 = b_n q - S_n(q-1)$
Подставляем известные значения:
$b_1 = 3 \cdot 0,5 - 93 \cdot (0,5 - 1) = 1,5 - 93 \cdot (-0,5) = 1,5 + 46,5 = 48$.
Теперь найдем $n$ из формулы n-го члена: $b_n = b_1 q^{n-1}$.
$3 = 48 \cdot (0,5)^{n-1}$
$(0,5)^{n-1} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$
Так как $0,5 = \frac{1}{2}$ и $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$, получаем уравнение:
$(\frac{1}{2})^{n-1} = (\frac{1}{2})^4$
Отсюда $n-1 = 4$, следовательно, $n=5$.
Ответ: $b_1 = 48$, $n = 5$.

2) Дано: $q = 3$, $b_n = 54$, $S_n = \frac{242}{3}$.
Используем формулу $b_1 = b_n q - S_n(q-1)$ для нахождения $b_1$:
$b_1 = 54 \cdot 3 - \frac{242}{3}(3-1) = 162 - \frac{242}{3} \cdot 2 = 162 - \frac{484}{3} = \frac{486-484}{3} = \frac{2}{3}$.
Теперь найдем $n$ из формулы $b_n = b_1 q^{n-1}$:
$54 = \frac{2}{3} \cdot 3^{n-1}$
$3^{n-1} = 54 \cdot \frac{3}{2} = 27 \cdot 3 = 81$.
Так как $81 = 3^4$, то $3^{n-1} = 3^4$.
Отсюда $n-1=4$, следовательно, $n=5$.
Ответ: $b_1 = \frac{2}{3}$, $n = 5$.

3) Дано: $q = -2$, $b_n = -4$, $S_n = -\frac{63}{24}$. Упростим дробь: $S_n = -\frac{21}{8}$.
Найдем $b_1$ по формуле $b_1 = b_n q - S_n(q-1)$:
$b_1 = (-4)(-2) - (-\frac{21}{8})(-2-1) = 8 - (-\frac{21}{8})(-3) = 8 - \frac{63}{8} = \frac{64-63}{8} = \frac{1}{8}$.
Теперь найдем $n$ из формулы $b_n = b_1 q^{n-1}$:
$-4 = \frac{1}{8} \cdot (-2)^{n-1}$
$(-2)^{n-1} = -4 \cdot 8 = -32$.
Так как $-32 = (-2)^5$, то $(-2)^{n-1} = (-2)^5$.
Отсюда $n-1=5$, следовательно, $n=6$.
Ответ: $b_1 = \frac{1}{8}$, $n = 6$.

4) Дано: $q = -\frac{1}{3}$, $b_n = -\frac{1}{3}$, $S_n = \frac{182}{3}$.
Найдем $b_1$ по формуле $b_1 = b_n q - S_n(q-1)$:
$b_1 = (-\frac{1}{3})(-\frac{1}{3}) - \frac{182}{3}(-\frac{1}{3}-1) = \frac{1}{9} - \frac{182}{3}(-\frac{4}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{728}{9} = \frac{729}{9} = 81$.
Теперь найдем $n$ из формулы $b_n = b_1 q^{n-1}$:
$-\frac{1}{3} = 81 \cdot (-\frac{1}{3})^{n-1}$
$(-\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{-1/3}{81} = -\frac{1}{3 \cdot 81} = -\frac{1}{243}$.
Так как $243 = 3^5$, то $-\frac{1}{243} = (-\frac{1}{3})^5$. Получаем уравнение:
$(-\frac{1}{3})^{n-1} = (-\frac{1}{3})^5$
Отсюда $n-1=5$, следовательно, $n=6$.
Ответ: $b_1 = 81$, $n = 6$.