Номер 16.4, страница 145, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.4. В геометрической прогрессии $(b_n)$ найдите $b_n$ и $S_n$, если:

1) $b_1 = 243, q = -\frac{2}{3}, n = 6;$

2) $b_1 = -\frac{3}{2}, q = 2, n = 7;$

3) $b_1 = 20, q = -0.1, n = 5;$

4) $b_1 = \frac{3}{5}, q = -\sqrt{5}, n = 5.$

Для решения задачи используются формулы n-го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Формула суммы первых n членов: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

1) Дано: $b_1 = 243$, $q = -\frac{2}{3}$, $n = 6$.

Найдем n-й член прогрессии $b_6$:

$b_6 = b_1 \cdot q^{n-1} = 243 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{6-1} = 243 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^5 = 243 \cdot \left(-\frac{2^5}{3^5}\right) = 243 \cdot \left(-\frac{32}{243}\right) = -32$.

Найдем сумму первых n членов прогрессии $S_6$:

$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{243\left(\left(-\frac{2}{3}\right)^6 - 1\right)}{-\frac{2}{3} - 1} = \frac{243\left(\frac{64}{729} - 1\right)}{-\frac{5}{3}} = \frac{243\left(\frac{64 - 729}{729}\right)}{-\frac{5}{3}} = \frac{243\left(-\frac{665}{729}\right)}{-\frac{5}{3}}$.

Упростим выражение: $\frac{243}{729} = \frac{1}{3}$.

$S_6 = \frac{\frac{1}{3} \cdot (-665)}{-\frac{5}{3}} = \frac{-665}{3} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{665}{5} = 133$.

Ответ: $b_6 = -32$; $S_6 = 133$.

2) Дано: $b_1 = -\frac{3}{2}$, $q = 2$, $n = 7$.

Найдем n-й член прогрессии $b_7$:

$b_7 = b_1 \cdot q^{n-1} = -\frac{3}{2} \cdot 2^{7-1} = -\frac{3}{2} \cdot 2^6 = -\frac{3}{2} \cdot 64 = -3 \cdot 32 = -96$.

Найдем сумму первых n членов прогрессии $S_7$:

$S_7 = \frac{b_1(q^7 - 1)}{q - 1} = \frac{-\frac{3}{2}(2^7 - 1)}{2 - 1} = \frac{-\frac{3}{2}(128 - 1)}{1} = -\frac{3}{2} \cdot 127 = -\frac{381}{2} = -190,5$.

Ответ: $b_7 = -96$; $S_7 = -190,5$.

3) Дано: $b_1 = 20$, $q = -0,1$, $n = 5$.

Найдем n-й член прогрессии $b_5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{n-1} = 20 \cdot (-0,1)^{5-1} = 20 \cdot (-0,1)^4 = 20 \cdot 0,0001 = 0,002$.

Найдем сумму первых n членов прогрессии $S_5$:

$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{20((-0,1)^5 - 1)}{-0,1 - 1} = \frac{20(-0,00001 - 1)}{-1,1} = \frac{20(-1,00001)}{-1,1} = \frac{-20,0002}{-1,1} = 18,182$.

Ответ: $b_5 = 0,002$; $S_5 = 18,182$.

4) Дано: $b_1 = \frac{3}{5}$, $q = -\sqrt{5}$, $n = 5$.

Найдем n-й член прогрессии $b_5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{n-1} = \frac{3}{5} \cdot (-\sqrt{5})^{5-1} = \frac{3}{5} \cdot (-\sqrt{5})^4 = \frac{3}{5} \cdot ((\sqrt{5})^2)^2 = \frac{3}{5} \cdot 5^2 = \frac{3}{5} \cdot 25 = 15$.

Найдем сумму первых n членов прогрессии $S_5$:

$q^5 = (-\sqrt{5})^5 = -(\sqrt{5})^5 = -(\sqrt{5^2})^2\sqrt{5} = -25\sqrt{5}$.

$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{\frac{3}{5}(-25\sqrt{5} - 1)}{-\sqrt{5} - 1} = \frac{\frac{3}{5}(-(25\sqrt{5} + 1))}{-( \sqrt{5} + 1)} = \frac{\frac{3}{5}(25\sqrt{5} + 1)}{\sqrt{5} + 1}$.

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{5} - 1)$:

$S_5 = \frac{\frac{3}{5}(25\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{\frac{3}{5}(25\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - 25\sqrt{5} + \sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{\frac{3}{5}(125 - 24\sqrt{5} - 1)}{5 - 1} = \frac{\frac{3}{5}(124 - 24\sqrt{5})}{4}$.

$S_5 = \frac{3(124 - 24\sqrt{5})}{5 \cdot 4} = \frac{3 \cdot 4(31 - 6\sqrt{5})}{20} = \frac{3(31 - 6\sqrt{5})}{5} = \frac{93 - 18\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $b_5 = 15$; $S_5 = \frac{93 - 18\sqrt{5}}{5}$.