Номер 16.2, страница 145, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.2. В геометрической прогрессии $ (b_n) $ найдите $ q $ и $ S_n $, если:

1) $b_1 = 90, b_n = 3\frac{1}{3}, n = 4;$

2) $b_1 = \frac{1}{3}, b_n = 81, n = 6;$

3) $b_1 = 120, b_n = 3,75, n = 6;$

4) $b_1 = 0,02, b_n = 312,5, n = 7.$

1) Дано: $b_1 = 90$, $b_n = 3\frac{1}{3}$, $n = 4$.

Здесь $b_4 = 3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.
Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставим известные значения, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1}$
$\frac{10}{3} = 90 \cdot q^3$
$q^3 = \frac{10}{3 \cdot 90} = \frac{10}{270} = \frac{1}{27}$
$q = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$

Теперь найдем сумму первых $n$ членов прогрессии $S_n$. Формула для суммы, когда известны первый и n-й члены: $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$.
Подставим наши значения для $n=4$:
$S_4 = \frac{b_4 q - b_1}{q - 1} = \frac{\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{3} - 90}{\frac{1}{3} - 1} = \frac{\frac{10}{9} - 90}{-\frac{2}{3}} = \frac{\frac{10 - 810}{9}}{-\frac{2}{3}} = \frac{-\frac{800}{9}}{-\frac{2}{3}} = \frac{800}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{400}{3} = 133\frac{1}{3}$.
Ответ: $q = \frac{1}{3}$, $S_4 = 133\frac{1}{3}$.

2) Дано: $b_1 = \frac{1}{3}$, $b_n = 81$, $n = 6$.

Здесь $b_6 = 81$.
Используем формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для нахождения $q$:
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1}$
$81 = \frac{1}{3} \cdot q^5$
$q^5 = 81 \cdot 3 = 243$
Поскольку $243 = 3^5$, то $q=3$.

Найдем сумму $S_6$ по формуле $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$:
$S_6 = \frac{b_6 q - b_1}{q - 1} = \frac{81 \cdot 3 - \frac{1}{3}}{3 - 1} = \frac{243 - \frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{729 - 1}{3}}{2} = \frac{728}{3 \cdot 2} = \frac{364}{3} = 121\frac{1}{3}$.
Ответ: $q = 3$, $S_6 = 121\frac{1}{3}$.

3) Дано: $b_1 = 120$, $b_n = 3,75$, $n = 6$.

Здесь $b_6 = 3,75 = \frac{375}{100} = \frac{15}{4}$.
Найдем $q$ из формулы $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1}$
$\frac{15}{4} = 120 \cdot q^5$
$q^5 = \frac{15}{4 \cdot 120} = \frac{1}{4 \cdot 8} = \frac{1}{32}$
Поскольку $32 = 2^5$, то $q = \frac{1}{2} = 0,5$.

Найдем сумму $S_6$ по формуле $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$:
$S_6 = \frac{3,75 \cdot 0,5 - 120}{0,5 - 1} = \frac{1,875 - 120}{-0,5} = \frac{-118,125}{-0,5} = 236,25$.
Ответ: $q = 0,5$, $S_6 = 236,25$.

4) Дано: $b_1 = 0,02$, $b_n = 312,5$, $n = 7$.

Здесь $b_7 = 312,5$.
Найдем $q$ из формулы $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1}$
$312,5 = 0,02 \cdot q^6$
$q^6 = \frac{312,5}{0,02} = \frac{31250}{2} = 15625$
Поскольку $15625 = 125^2 = (5^3)^2 = 5^6$, то $q=5$.

Найдем сумму $S_7$ по формуле $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$:
$S_7 = \frac{312,5 \cdot 5 - 0,02}{5 - 1} = \frac{1562,5 - 0,02}{4} = \frac{1562,48}{4} = 390,62$.
Ответ: $q = 5$, $S_7 = 390,62$.