Номер 16.7, страница 146, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.7. В геометрической прогрессии ($b_n$) найдите $b_1$ и $b_n$, если:

1) $q = 2, n = 11, S_n = 2047;$

2) $q = \frac{1}{3}, n = 5, S_n = 121;$

3) $q = 0,5, n = 6, S_n = 7\frac{7}{8};$

4) $q = -2, n = 7, S_n = 258.$

Для решения задачи используются две основные формулы геометрической прогрессии ($b_n$):
1. Формула суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов.
2. Формула $n$-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

1) Дано: $q = 2, n = 11, S_n = 2047$.
Найдем $b_1$ из формулы суммы:
$S_{11} = \frac{b_1(q^{11} - 1)}{q - 1}$
$2047 = \frac{b_1(2^{11} - 1)}{2 - 1}$
$2047 = \frac{b_1(2048 - 1)}{1}$
$2047 = b_1 \cdot 2047$
$b_1 = 1$
Теперь найдем $b_{11}$ по формуле $n$-го члена:
$b_{11} = b_1 \cdot q^{11-1} = 1 \cdot 2^{10} = 1024$
Ответ: $b_1 = 1, b_{11} = 1024$.

2) Дано: $q = \frac{1}{3}, n = 5, S_n = 121$.
Найдем $b_1$ из формулы суммы:
$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1}$
$121 = \frac{b_1((\frac{1}{3})^5 - 1)}{\frac{1}{3} - 1} = \frac{b_1(\frac{1}{243} - 1)}{-\frac{2}{3}} = \frac{b_1(-\frac{242}{243})}{-\frac{2}{3}}$
$121 = b_1 \cdot \frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2} = b_1 \cdot \frac{121}{81}$
$b_1 = 121 \cdot \frac{81}{121} = 81$
Теперь найдем $b_5$ по формуле $n$-го члена:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = 81 \cdot (\frac{1}{3})^4 = 81 \cdot \frac{1}{81} = 1$
Ответ: $b_1 = 81, b_5 = 1$.

3) Дано: $q = 0,5 = \frac{1}{2}, n = 6, S_n = 7\frac{7}{8} = \frac{63}{8}$.
Найдем $b_1$ из формулы суммы:
$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1}$
$\frac{63}{8} = \frac{b_1((\frac{1}{2})^6 - 1)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{b_1(\frac{1}{64} - 1)}{-\frac{1}{2}} = \frac{b_1(-\frac{63}{64})}{-\frac{1}{2}}$
$\frac{63}{8} = b_1 \cdot \frac{63}{64} \cdot 2 = b_1 \cdot \frac{63}{32}$
$b_1 = \frac{63}{8} \cdot \frac{32}{63} = 4$
Теперь найдем $b_6$ по формуле $n$-го члена:
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = 4 \cdot (\frac{1}{2})^5 = 4 \cdot \frac{1}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$
Ответ: $b_1 = 4, b_6 = \frac{1}{8}$.

4) Дано: $q = -2, n = 7, S_n = 258$.
Найдем $b_1$ из формулы суммы:
$S_7 = \frac{b_1(q^7 - 1)}{q - 1}$
$258 = \frac{b_1((-2)^7 - 1)}{-2 - 1} = \frac{b_1(-128 - 1)}{-3} = \frac{b_1(-129)}{-3}$
$258 = b_1 \cdot 43$
$b_1 = \frac{258}{43} = 6$
Теперь найдем $b_7$ по формуле $n$-го члена:
$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = 6 \cdot (-2)^6 = 6 \cdot 64 = 384$
Ответ: $b_1 = 6, b_7 = 384$.