Номер 16.13, страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.13. 1) В геометрической прогрессии первый член равен $\sqrt{2}$, седьмой член равен $\sqrt{128}$. Найдите значение суммы шести первых членов этой прогрессии.

2) В геометрической прогрессии первый член равен $\sqrt{3}$, пятый член равен $\sqrt{243}$. Найдите значение суммы шести первых членов этой прогрессии.

1)

Дано: геометрическая прогрессия, в которой первый член $b_1 = \sqrt{2}$ и седьмой член $b_7 = \sqrt{128}$.

Задача: найти сумму шести первых членов прогрессии $S_6$.

1. Сначала найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для седьмого члена ($n=7$) имеем: $b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6$.

2. Упростим значение седьмого члена: $\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$.

3. Подставим известные значения в формулу:

$8\sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot q^6$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

$q^6 = 8$

Из этого уравнения следует, что $q$ может иметь два действительных значения:

$q = \sqrt[6]{8} = (2^3)^{1/6} = 2^{3/6} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$ или $q = -\sqrt[6]{8} = -\sqrt{2}$.

Рассмотрим оба случая.

4. Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Нам нужно найти $S_6$.

Случай 1: $q = \sqrt{2}$

$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{\sqrt{2}((\sqrt{2})^6 - 1)}{\sqrt{2} - 1}$.

Так как $q^6 = 8$, получаем:

$S_6 = \frac{\sqrt{2}(8 - 1)}{\sqrt{2} - 1} = \frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} + 1)$:

$S_6 = \frac{7\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{7\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 7\sqrt{2} \cdot 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{7 \cdot 2 + 7\sqrt{2}}{2 - 1} = 14 + 7\sqrt{2}$.

Случай 2: $q = -\sqrt{2}$

$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{\sqrt{2}((-\sqrt{2})^6 - 1)}{-\sqrt{2} - 1}$.

Так как $(-\sqrt{2})^6 = 8$, получаем:

$S_6 = \frac{\sqrt{2}(8 - 1)}{-\sqrt{2} - 1} = \frac{7\sqrt{2}}{-(\sqrt{2} + 1)}$.

Умножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{2} - 1)$:

$S_6 = \frac{7\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{-(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{7 \cdot 2 - 7\sqrt{2}}{-((\sqrt{2})^2 - 1^2)} = \frac{14 - 7\sqrt{2}}{-(2 - 1)} = \frac{14 - 7\sqrt{2}}{-1} = 7\sqrt{2} - 14$.

Ответ: $14 + 7\sqrt{2}$ или $7\sqrt{2} - 14$.

2)

Дано: геометрическая прогрессия, в которой первый член $b_1 = \sqrt{3}$ и пятый член $b_5 = \sqrt{243}$.

Задача: найти сумму шести первых членов прогрессии $S_6$.

1. Найдем знаменатель прогрессии $q$, используя формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для пятого члена ($n=5$): $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.

2. Упростим значение пятого члена: $\sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = 9\sqrt{3}$.

3. Подставим известные значения в формулу:

$9\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot q^4$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$q^4 = 9$

Из этого уравнения получаем два действительных значения для $q$:

$q = \sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} = 3^{2/4} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$ или $q = -\sqrt[4]{9} = -\sqrt{3}$.

Рассмотрим оба случая.

4. Используем формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ для нахождения $S_6$.

Случай 1: $q = \sqrt{3}$

Сначала вычислим $q^6$: $q^6 = (\sqrt{3})^6 = (3^{1/2})^6 = 3^3 = 27$.

$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{\sqrt{3}(27 - 1)}{\sqrt{3} - 1} = \frac{26\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на сопряженное выражение $(\sqrt{3} + 1)$:

$S_6 = \frac{26\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{26\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 26\sqrt{3} \cdot 1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{26 \cdot 3 + 26\sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{78 + 26\sqrt{3}}{2} = 39 + 13\sqrt{3}$.

Случай 2: $q = -\sqrt{3}$

Вычислим $q^6$: $q^6 = (-\sqrt{3})^6 = 27$.

$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{\sqrt{3}(27 - 1)}{-\sqrt{3} - 1} = \frac{26\sqrt{3}}{-(\sqrt{3} + 1)}$.

Умножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{3} - 1)$:

$S_6 = \frac{26\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{-(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{26 \cdot 3 - 26\sqrt{3}}{-((\sqrt{3})^2 - 1^2)} = \frac{78 - 26\sqrt{3}}{-(3 - 1)} = \frac{78 - 26\sqrt{3}}{-2} = -39 + 13\sqrt{3} = 13\sqrt{3} - 39$.

Ответ: $39 + 13\sqrt{3}$ или $13\sqrt{3} - 39$.