Номер 16.6, страница 146, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.6. В геометрической прогрессии ($b_n$) найдите $b_1$ и $S_n$, если:

1) $q = 0,5, n = 6, b_n = 3;

2) $q = 3, n = 5, b_n = 486;

3) $q = 0,5, n = 4, b_n = 0,375;

4) $q = 1,5, n = 5, b_n = \frac{9}{16}.

1) Дано: $q = 0,5$, $n = 6$, $b_n = b_6 = 3$.

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии $b_1$ воспользуемся формулой n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Выразим из этой формулы $b_1$: $b_1 = \frac{b_n}{q^{n-1}}$.

Подставим известные значения:

$b_1 = \frac{b_6}{q^{6-1}} = \frac{3}{0,5^5} = \frac{3}{(1/2)^5} = \frac{3}{1/32} = 3 \cdot 32 = 96$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов $S_n$ воспользуемся формулой $S_n = \frac{b_n \cdot q - b_1}{q-1}$.

Подставим найденное значение $b_1$ и данные из условия:

$S_6 = \frac{b_6 \cdot q - b_1}{q-1} = \frac{3 \cdot 0,5 - 96}{0,5 - 1} = \frac{1,5 - 96}{-0,5} = \frac{-94,5}{-0,5} = 189$.

Ответ: $b_1 = 96$; $S_6 = 189$.

2) Дано: $q = 3$, $n = 5$, $b_n = b_5 = 486$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$ по формуле $b_1 = \frac{b_n}{q^{n-1}}$.

Подставим известные значения:

$b_1 = \frac{b_5}{q^{5-1}} = \frac{486}{3^4} = \frac{486}{81} = 6$.

Теперь найдем сумму первых $n$ членов $S_n$ по формуле $S_n = \frac{b_n \cdot q - b_1}{q-1}$.

Подставим известные значения:

$S_5 = \frac{b_5 \cdot q - b_1}{q-1} = \frac{486 \cdot 3 - 6}{3 - 1} = \frac{1458 - 6}{2} = \frac{1452}{2} = 726$.

Ответ: $b_1 = 6$; $S_5 = 726$.

3) Дано: $q = 0,5$, $n = 4$, $b_n = b_4 = 0,375$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$ по формуле $b_1 = \frac{b_n}{q^{n-1}}$. Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $0,5 = \frac{1}{2}$, $0,375 = \frac{3}{8}$.

Подставим известные значения:

$b_1 = \frac{b_4}{q^{4-1}} = \frac{0,375}{0,5^3} = \frac{3/8}{(1/2)^3} = \frac{3/8}{1/8} = 3$.

Теперь найдем сумму первых $n$ членов $S_n$ по формуле $S_n = \frac{b_n \cdot q - b_1}{q-1}$.

Подставим известные значения:

$S_4 = \frac{b_4 \cdot q - b_1}{q-1} = \frac{0,375 \cdot 0,5 - 3}{0,5 - 1} = \frac{0,1875 - 3}{-0,5} = \frac{-2,8125}{-0,5} = 5,625$.

Или в обыкновенных дробях:

$S_4 = \frac{\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} - 3}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{\frac{3}{16} - 3}{-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3-48}{16}}{-\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{45}{16}}{-\frac{1}{2}} = \frac{45}{16} \cdot 2 = \frac{45}{8} = 5,625$.

Ответ: $b_1 = 3$; $S_4 = 5,625$.

4) Дано: $q = 1,5$, $n = 5$, $b_n = b_5 = \frac{9}{16}$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$ по формуле $b_1 = \frac{b_n}{q^{n-1}}$. Представим $q$ в виде обыкновенной дроби: $1,5 = \frac{3}{2}$.

Подставим известные значения:

$b_1 = \frac{b_5}{q^{5-1}} = \frac{9/16}{(3/2)^4} = \frac{9/16}{81/16} = \frac{9}{16} \cdot \frac{16}{81} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9}$.

Теперь найдем сумму первых $n$ членов $S_n$ по формуле $S_n = \frac{b_n \cdot q - b_1}{q-1}$.

Подставим известные значения:

$S_5 = \frac{b_5 \cdot q - b_1}{q-1} = \frac{\frac{9}{16} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{9}}{\frac{3}{2} - 1} = \frac{\frac{27}{32} - \frac{1}{9}}{\frac{1}{2}}$.

Приведем дроби в числителе к общему знаменателю $32 \cdot 9 = 288$:

$S_5 = \frac{\frac{27 \cdot 9 - 1 \cdot 32}{288}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{243 - 32}{288}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{211}{288}}{\frac{1}{2}} = \frac{211}{288} \cdot 2 = \frac{211}{144}$.

Ответ: $b_1 = \frac{1}{9}$; $S_5 = \frac{211}{144}$.