Номер 16.5, страница 145, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.5. В геометрической прогрессии $(b_n)$ найдите $n$ и $b_n$, если:

1) $b_1 = 3, q = 2, S_n = 93;$

2) $b_1 = 6, q = -2, S_n = -510;$

3) $b_1 = \frac{3}{5}, q = -0,5, S_n = \frac{3}{8};$

4) $b_1 = -13, q = -0,3, S_n = -10,27.$

1) Для нахождения $n$ используем формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим известные значения: $b_1 = 3$, $q = 2$, $S_n = 93$.
$93 = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1}$
$93 = \frac{3(2^n - 1)}{1}$
$93 = 3(2^n - 1)$
Разделим обе части на 3:
$31 = 2^n - 1$
$32 = 2^n$
Так как $2^5 = 32$, то $n = 5$.
Теперь найдем $b_n$, то есть $b_5$, используя формулу $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
$b_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$.
Ответ: $n = 5$, $b_5 = 48$.

2) Используем ту же формулу для суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим известные значения: $b_1 = 6$, $q = -2$, $S_n = -510$.
$-510 = \frac{6((-2)^n - 1)}{-2 - 1}$
$-510 = \frac{6((-2)^n - 1)}{-3}$
$-510 = -2((-2)^n - 1)$
Разделим обе части на -2:
$255 = (-2)^n - 1$
$256 = (-2)^n$
Так как $2^8 = 256$, и основание степени $(-2)$ отрицательное, а результат положительный, то $n$ должно быть четным. Следовательно, $n = 8$.
Теперь найдем $b_n$, то есть $b_8$, по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
$b_8 = 6 \cdot (-2)^{8-1} = 6 \cdot (-2)^7 = 6 \cdot (-128) = -768$.
Ответ: $n = 8$, $b_8 = -768$.

3) Используем формулу для суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим известные значения: $b_1 = \frac{3}{5}$, $q = -0,5 = -\frac{1}{2}$, $S_n = \frac{3}{8}$.
$\frac{3}{8} = \frac{\frac{3}{5}((-\frac{1}{2})^n - 1)}{-\frac{1}{2} - 1}$
$\frac{3}{8} = \frac{\frac{3}{5}((-\frac{1}{2})^n - 1)}{-\frac{3}{2}}$
$\frac{3}{8} = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot ((-\frac{1}{2})^n - 1)$
$\frac{3}{8} = -\frac{2}{5} \cdot ((-\frac{1}{2})^n - 1)$
Умножим обе части на $-\frac{5}{2}$:
$\frac{3}{8} \cdot (-\frac{5}{2}) = (-\frac{1}{2})^n - 1$
$-\frac{15}{16} = (-\frac{1}{2})^n - 1$
$1 - \frac{15}{16} = (-\frac{1}{2})^n$
$\frac{1}{16} = (-\frac{1}{2})^n$
Так как $(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$, и результат положителен, $n$ должно быть четным. Следовательно, $n = 4$.
Теперь найдем $b_n$, то есть $b_4$, по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
$b_4 = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{1}{2})^{4-1} = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{1}{2})^3 = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{1}{8}) = -\frac{3}{40}$.
Ответ: $n = 4$, $b_4 = -\frac{3}{40}$.

4) Используем формулу для суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим известные значения: $b_1 = -13$, $q = -0,3$, $S_n = -10,27$.
$-10,27 = \frac{-13((-0,3)^n - 1)}{-0,3 - 1}$
$-10,27 = \frac{-13((-0,3)^n - 1)}{-1,3}$
$-10,27 = 10 \cdot ((-0,3)^n - 1)$
Разделим обе части на 10:
$-1,027 = (-0,3)^n - 1$
$1 - 1,027 = (-0,3)^n$
$-0,027 = (-0,3)^n$
Так как $(-0,3)^3 = -0,027$, то $n = 3$.
Теперь найдем $b_n$, то есть $b_3$, по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
$b_3 = -13 \cdot (-0,3)^{3-1} = -13 \cdot (-0,3)^2 = -13 \cdot 0,09 = -1,17$.
Ответ: $n = 3$, $b_3 = -1,17$.