Номер 16.1, страница 145, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16.1. В геометрической прогрессии ($b_n$) найдите $n$ и $S_n$, если:

1) $b_1 = 0.5, b_n = 256, q = 2;$

2) $b_1 = 80, b_n = 5, q = 0.5;$

3) $b_1 = 3, b_n = 243, q = 3;$

4) $b_1 = 1.5, b_n = 240, q = 2.$

1) Для нахождения номера последнего члена $n$ воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим известные значения: $b_1 = 0,5$, $b_n = 256$, $q = 2$.
$256 = 0,5 \cdot 2^{n-1}$
Разделим обе части уравнения на 0,5 (что равносильно умножению на 2):
$512 = 2^{n-1}$
Поскольку $512 = 2^9$, мы можем записать:
$2^9 = 2^{n-1}$
Отсюда следует, что $n-1 = 9$, и, следовательно, $n = 10$.
Теперь найдем сумму первых $n$ членов прогрессии, $S_n$, используя формулу $S_n = \frac{b_n \cdot q - b_1}{q-1}$.
$S_{10} = \frac{256 \cdot 2 - 0,5}{2-1} = \frac{512 - 0,5}{1} = 511,5$.
Ответ: $n = 10$, $S_{10} = 511,5$.

2) Используем формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ с заданными значениями: $b_1 = 80$, $b_n = 5$, $q = 0,5$.
$5 = 80 \cdot (0,5)^{n-1}$
Разделим обе части на 80:
$\frac{5}{80} = (0,5)^{n-1}$
$\frac{1}{16} = (0,5)^{n-1}$
Так как $0,5 = \frac{1}{2}$ и $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$, получаем:
$(\frac{1}{2})^4 = (\frac{1}{2})^{n-1}$
Отсюда $n-1 = 4$, а значит $n = 5$.
Для нахождения суммы $S_n$ воспользуемся формулой $S_n = \frac{b_n \cdot q - b_1}{q-1}$.
$S_5 = \frac{5 \cdot 0,5 - 80}{0,5 - 1} = \frac{2,5 - 80}{-0,5} = \frac{-77,5}{-0,5} = 155$.
Ответ: $n = 5$, $S_5 = 155$.

3) По формуле n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ с данными $b_1 = 3$, $b_n = 243$, $q = 3$ имеем:
$243 = 3 \cdot 3^{n-1}$
$243 = 3^{1+n-1}$
$243 = 3^n$
Поскольку $243 = 3^5$, получаем $3^5 = 3^n$, откуда $n=5$.
Сумму $S_n$ найдем по формуле $S_n = \frac{b_n \cdot q - b_1}{q-1}$.
$S_5 = \frac{243 \cdot 3 - 3}{3-1} = \frac{729 - 3}{2} = \frac{726}{2} = 363$.
Ответ: $n = 5$, $S_5 = 363$.

4) Для нахождения $n$ используем формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ с известными значениями: $b_1 = 1,5$, $b_n = 240$, $q = 2$.
$240 = 1,5 \cdot 2^{n-1}$
Выразим $2^{n-1}$:
$2^{n-1} = \frac{240}{1,5} = 160$
Число 160 не является целой степенью числа 2 (например, $2^7 = 128$, а $2^8 = 256$). Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, не существует такого натурального $n$, которое удовлетворяло бы уравнению $2^{n-1} = 160$. Следовательно, в условии задачи, по всей видимости, содержится ошибка, и найти $n$ и $S_n$ для заданных параметров невозможно.
Ответ: Задачу решить невозможно, так как для заданных значений не существует натурального числа $n$.