Номер 15.35, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.35. 1) Найдите значение суммы всех трехзначных чисел, меньших 600 и кратных 8.

2) Найдите значение суммы всех трехзначных чисел, больших 500, которые при делении на 23 дают в остатке число 10.

1)

Нам нужно найти сумму всех трехзначных чисел, которые меньше 600 и кратны 8. Трехзначные числа находятся в диапазоне от 100 до 999. Условие "меньше 600" сужает этот диапазон до чисел от 100 до 599.

Эти числа образуют арифметическую прогрессию. Найдем ее первый член, последний член и разность.

1. Найдем первый член прогрессии ($a_1$). Это наименьшее трехзначное число, кратное 8. Разделим 100 на 8: $100 / 8 = 12.5$. Округляем до ближайшего большего целого числа (13) и умножаем на 8: $13 \cdot 8 = 104$. Итак, $a_1 = 104$.

2. Найдем последний член прогрессии ($a_n$). Это наибольшее число, меньшее 600, которое кратно 8. Разделим 599 на 8: $599 / 8 = 74.875$. Округляем до ближайшего меньшего целого числа (74) и умножаем на 8: $74 \cdot 8 = 592$. Итак, $a_n = 592$.

3. Разность прогрессии ($d$) равна 8, так как мы ищем числа, кратные 8.

4. Теперь найдем количество членов прогрессии ($n$) по формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. $592 = 104 + (n-1) \cdot 8$ $592 - 104 = (n-1) \cdot 8$ $488 = (n-1) \cdot 8$ $n-1 = 488 / 8$ $n-1 = 61$ $n = 62$ Всего 62 таких числа.

5. Вычислим сумму прогрессии ($S_n$) по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. $S_{62} = \frac{104 + 592}{2} \cdot 62$ $S_{62} = \frac{696}{2} \cdot 62$ $S_{62} = 348 \cdot 62 = 21576$. Или можно было посчитать так: $S_{62} = (104 + 592) \cdot \frac{62}{2} = 696 \cdot 31 = 21576$.

Ответ: 21576

2)

Нам нужно найти сумму всех трехзначных чисел, больших 500, которые при делении на 23 дают в остатке число 10. Трехзначные числа находятся в диапазоне от 100 до 999. Условие "больше 500" сужает этот диапазон до чисел от 501 до 999. Числа, которые при делении на 23 дают в остатке 10, можно представить в виде $23k + 10$, где $k$ – целое число.

Эти числа также образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 23$.

1. Найдем первый член прогрессии ($b_1$). Это наименьшее число вида $23k + 10$, которое больше 500. $23k + 10 > 500$ $23k > 490$ $k > 490 / 23$ $k > 21.3...$ Поскольку $k$ целое, наименьшее значение $k = 22$. $b_1 = 23 \cdot 22 + 10 = 506 + 10 = 516$.

2. Найдем последний член прогрессии ($b_n$). Это наибольшее трехзначное число вида $23k + 10$. $23k + 10 \le 999$ $23k \le 989$ $k \le 989 / 23$ $k \le 43$ Наибольшее целое значение $k = 43$. $b_n = 23 \cdot 43 + 10 = 989 + 10 = 999$.

3. Найдем количество членов прогрессии ($n$). Мы знаем, что $k$ изменяется от 22 до 43 включительно. Количество членов $n = 43 - 22 + 1 = 22$. Проверим по формуле n-го члена: $b_n = b_1 + (n-1)d$. $999 = 516 + (n-1) \cdot 23$ $999 - 516 = (n-1) \cdot 23$ $483 = (n-1) \cdot 23$ $n-1 = 483 / 23 = 21$ $n = 22$. Всего 22 таких числа.

4. Вычислим сумму прогрессии ($S_n$) по формуле: $S_n = \frac{b_1 + b_n}{2} \cdot n$. $S_{22} = \frac{516 + 999}{2} \cdot 22$ $S_{22} = (516 + 999) \cdot 11$ $S_{22} = 1515 \cdot 11 = 16665$.

Ответ: 16665