Номер 15.38, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.38. Найдите значение числового выражения:

1) $\frac{\left(\frac{1}{9}\right)^{-3} \cdot \frac{1}{9}}{3^5} + \frac{2}{3}$;

2) $90 \cdot \frac{5^{-2}}{9^2} - 2 \cdot 5^{-1} \cdot 3^{-2}$;

3) $17 - \frac{34^3}{17^2 \cdot 2^4} \cdot 2^2$;

4) $210 - \frac{51^3}{17^2 \cdot 9^3} \cdot 18^2$.

1) $\frac{(\frac{1}{9})^{-3} \cdot \frac{1}{9}}{3^5} + \frac{2}{3}$

Сначала упростим первое слагаемое. Используем свойства степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Преобразуем числитель дроби:

$(\frac{1}{9})^{-3} = 9^3$

Тогда числитель равен:

$9^3 \cdot \frac{1}{9} = 9^3 \cdot 9^{-1} = 9^{3-1} = 9^2$

Представим 9 как степень 3: $9 = 3^2$. Тогда $9^2 = (3^2)^2 = 3^4$.

Теперь подставим это в первое слагаемое:

$\frac{3^4}{3^5} = 3^{4-5} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$

Теперь выполним сложение:

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1+2}{3} = \frac{3}{3} = 1$

Ответ: 1

2) $90 \cdot \frac{5^{-2}}{9^2} - 2 \cdot 5^{-1} \cdot 3^{-2}$

Упростим каждое слагаемое, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Первое слагаемое:

$90 \cdot \frac{5^{-2}}{9^2} = 90 \cdot \frac{1}{5^2 \cdot 9^2} = \frac{90}{25 \cdot 81}$

Сократим дробь. Разложим 90 на множители: $90 = 9 \cdot 10$.

$\frac{9 \cdot 10}{25 \cdot 81} = \frac{10}{25 \cdot 9} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 9} = \frac{2}{5 \cdot 9} = \frac{2}{45}$

Второе слагаемое:

$2 \cdot 5^{-1} \cdot 3^{-2} = 2 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3^2} = \frac{2}{5 \cdot 9} = \frac{2}{45}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{2}{45} - \frac{2}{45} = 0$

Ответ: 0

3) $17 - \frac{34^3}{17^2 \cdot 2^4} \cdot 2^2$

Сначала упростим второе слагаемое. Представим $34$ как $17 \cdot 2$.

$34^3 = (17 \cdot 2)^3 = 17^3 \cdot 2^3$

Подставим это в выражение:

$\frac{17^3 \cdot 2^3}{17^2 \cdot 2^4} \cdot 2^2$

Упростим дроби, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{17^3}{17^2} = 17^{3-2} = 17^1 = 17$

$\frac{2^3}{2^4} = 2^{3-4} = 2^{-1}$

Теперь второе слагаемое выглядит так:

$17 \cdot 2^{-1} \cdot 2^2$

Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$17 \cdot 2^{-1+2} = 17 \cdot 2^1 = 17 \cdot 2 = 34$

Теперь выполним вычитание:

$17 - 34 = -17$

Ответ: -17

4) $210 - \frac{51^3}{17^2 \cdot 9^3} \cdot 18^2$

Упростим второе слагаемое. Разложим числа на простые множители:

$51 = 17 \cdot 3$

$9 = 3^2$

$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$

Подставим эти разложения в выражение:

$\frac{(17 \cdot 3)^3}{17^2 \cdot (3^2)^3} \cdot (2 \cdot 3^2)^2 = \frac{17^3 \cdot 3^3}{17^2 \cdot 3^6} \cdot (2^2 \cdot 3^4)$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{17^3}{17^2} \cdot \frac{3^3 \cdot 3^4}{3^6} \cdot 2^2 = 17^{3-2} \cdot \frac{3^{3+4}}{3^6} \cdot 2^2 = 17^1 \cdot \frac{3^7}{3^6} \cdot 4 = 17 \cdot 3^{7-6} \cdot 4 = 17 \cdot 3^1 \cdot 4$

Вычислим значение этого выражения:

$17 \cdot 3 \cdot 4 = 51 \cdot 4 = 204$

Теперь выполним вычитание:

$210 - 204 = 6$

Ответ: 6