Номер 15.34, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.34. Какое множество точек на координатной плоскости задает неравенство:

1) $x^2 + y^2 + 2x - 6y \ge 4$;

2) $x^2 + y^2 - 10x - 2y \ge 0$;

3) $x^2 + y^2 - x + y < 1$;

4) $x^2 + y^2 - 2x - 2y < 2$?

1) $x^2 + y^2 + 2x - 6y \ge 4$

Для определения множества точек, заданного этим неравенством, приведем его к каноническому виду уравнения окружности, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:

$(x^2 + 2x) + (y^2 - 6y) \ge 4$

Дополним каждое выражение в скобках до полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем квадраты половины коэффициентов при $x$ и $y$:

$(x^2 + 2x + 1) - 1 + (y^2 - 6y + 9) - 9 \ge 4$

Свернем полные квадраты:

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 - 10 \ge 4$

Перенесем свободный член в правую часть:

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 \ge 14$

Это неравенство описывает множество точек, расстояние от которых до точки $(-1, 3)$ не меньше, чем $\sqrt{14}$. Геометрически это представляет собой все точки, лежащие на окружности с центром в точке $O(-1, 3)$ и радиусом $R = \sqrt{14}$, а также все точки, лежащие вне этой окружности.

Ответ: множество точек на координатной плоскости, расположенных на и вне окружности с центром в точке $(-1, 3)$ и радиусом $\sqrt{14}$.

2) $x^2 + y^2 - 10x - 2y \ge 0$

Преобразуем неравенство, выделив полные квадраты.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 - 10x) + (y^2 - 2y) \ge 0$

Дополним до полных квадратов:

$(x^2 - 10x + 25) - 25 + (y^2 - 2y + 1) - 1 \ge 0$

Свернем квадраты и упростим:

$(x - 5)^2 + (y - 1)^2 - 26 \ge 0$

$(x - 5)^2 + (y - 1)^2 \ge 26$

Это неравенство описывает множество точек, расстояние от которых до точки $(5, 1)$ не меньше, чем $\sqrt{26}$. Это все точки, лежащие на окружности с центром в точке $O(5, 1)$ и радиусом $R = \sqrt{26}$, и все точки вне этой окружности.

Ответ: множество точек, расположенных на и вне окружности с центром в точке $(5, 1)$ и радиусом $\sqrt{26}$.

3) $x^2 + y^2 - x + y < 1$

Преобразуем неравенство, выделив полные квадраты.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 - x) + (y^2 + y) < 1$

Дополним до полных квадратов. Коэффициенты при $x$ и $y$ равны -1 и 1. Половины этих коэффициентов: $-\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$. Их квадраты равны $\frac{1}{4}$.

$(x^2 - x + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} + (y^2 + y + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} < 1$

Свернем квадраты:

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} < 1$

Перенесем свободный член вправо:

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 < 1 + \frac{1}{2}$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 < \frac{3}{2}$

Это неравенство описывает множество точек, расстояние от которых до точки $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ строго меньше, чем $\sqrt{\frac{3}{2}}$. Геометрически это внутренность круга (открытый круг), не включая границу, с центром в точке $O(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ и радиусом $R = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: множество точек внутри окружности (открытый круг) с центром в точке $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ и радиусом $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

4) $x^2 + y^2 - 2x - 2y < 2$

Преобразуем неравенство, выделив полные квадраты.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) < 2$

Дополним до полных квадратов:

$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 - 2y + 1) - 1 < 2$

Свернем квадраты и упростим:

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 2 < 2$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 < 4$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 < 2^2$

Это неравенство описывает множество точек, расстояние от которых до точки $(1, 1)$ строго меньше, чем 2. Это внутренность круга (открытый круг), не включая границу, с центром в точке $O(1, 1)$ и радиусом $R = 2$.

Ответ: множество точек внутри окружности (открытый круг) с центром в точке $(1, 1)$ и радиусом $2$.