Номер 15.28, страница 140, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.28. Значение суммы трех положительных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равно 21. Если к этим числам прибавить, соответственно, 1, 1, 5, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

Пусть три искомых положительных числа, составляющих арифметическую прогрессию, равны $a_1$, $a_2$, $a_3$. Для удобства решения представим эти числа в виде $a-d$, $a$, $a+d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

Согласно условию, сумма этих чисел равна 21. Составим уравнение:$(a-d) + a + (a+d) = 21$$3a = 21$$a = 7$

Таким образом, второй член прогрессии равен 7, а сами числа имеют вид: $7-d$, $7$, $7+d$.Поскольку все числа по условию положительные, должны выполняться следующие неравенства:$7-d > 0$, что означает $d < 7$.$7+d > 0$, что означает $d > -7$.Следовательно, разность $d$ должна находиться в интервале $-7 < d < 7$.

Если к этим числам прибавить соответственно 1, 1 и 5, то получатся новые числа:$b_1 = (7-d) + 1 = 8-d$$b_2 = 7 + 1 = 8$$b_3 = (7+d) + 5 = 12+d$

Эти новые числа $b_1$, $b_2$, $b_3$ составляют геометрическую прогрессию. Для любой геометрической прогрессии квадрат среднего члена равен произведению его соседних членов: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.Подставим полученные выражения:$8^2 = (8-d)(12+d)$

Решим это уравнение относительно $d$:$64 = 96 + 8d - 12d - d^2$$64 = 96 - 4d - d^2$Приведем уравнение к стандартному виду:$d^2 + 4d + 64 - 96 = 0$$d^2 + 4d - 32 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$$d_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-4 \pm 12}{2}$Получаем два корня:$d_1 = \frac{-4 + 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$$d_2 = \frac{-4 - 12}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Проверим найденные значения $d$ на соответствие ранее установленному условию $-7 < d < 7$.Корень $d_1 = 4$ удовлетворяет этому условию.Корень $d_2 = -8$ не удовлетворяет этому условию, так как $-8$ не больше $-7$.Следовательно, единственно верное значение разности прогрессии равно 4.

Теперь мы можем найти исходные числа, подставив значения $a=7$ и $d=4$:Первое число: $a-d = 7 - 4 = 3$.Второе число: $a = 7$.Третье число: $a+d = 7 + 4 = 11$.

Проведем проверку. Числа 3, 7, 11 являются положительными, составляют арифметическую прогрессию с разностью 4, и их сумма $3+7+11=21$. После прибавления 1, 1, 5 получаем числа 4, 8, 16, которые составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Все условия задачи выполнены.

Ответ: 3, 7, 11.