Номер 15.24, страница 139, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.24. В геометрической прогрессии ($b_n$) найдите $b_k$, если:

1) $b_{k-m} = 13$ и $b_{k+m} = 107;

2) $b_{k-m} = 1,2$ и $b_{k+m} = 19,2.$

Для решения этой задачи воспользуемся свойством геометрической прогрессии: любой член прогрессии является средним геометрическим для двух членов, равноудаленных от него по номерам. В нашем случае член $b_k$ равноудален от членов $b_{k-m}$ и $b_{k+m}$, поскольку их индексы $k-m$, $k$, $k+m$ образуют арифметическую прогрессию.

Свойство среднего геометрического записывается формулой: $b_k^2 = b_{k-m} \cdot b_{k+m}$.

Докажем эту формулу. Пусть $q$ — знаменатель геометрической прогрессии. По определению n-го члена прогрессии, мы можем выразить $b_{k-m}$ и $b_{k+m}$ через $b_k$:

$b_{k-m} = b_k \cdot q^{-m}$

$b_{k+m} = b_k \cdot q^{m}$

Перемножим эти два равенства:

$b_{k-m} \cdot b_{k+m} = (b_k \cdot q^{-m}) \cdot (b_k \cdot q^{m}) = b_k^2 \cdot q^{-m+m} = b_k^2 \cdot q^0 = b_k^2$.

Отсюда следует, что $b_k = \pm \sqrt{b_{k-m} \cdot b_{k+m}}$. Так как в условии задачи не дано дополнительных сведений о знаках членов прогрессии (например, что все они положительны), мы должны учесть оба возможных знака для $b_k$.

1) Даны значения $b_{k-m} = 13$ и $b_{k+m} = 107$.

Используем формулу $b_k^2 = b_{k-m} \cdot b_{k+m}$:

$b_k^2 = 13 \cdot 107 = 1391$.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$b_k = \pm \sqrt{1391}$.

Числа 13 и 107 — простые, поэтому корень $\sqrt{1391}$ не упрощается.

Ответ: $b_k = \pm \sqrt{1391}$.

2) Даны значения $b_{k-m} = 1.2$ и $b_{k+m} = 19.2$.

Используем ту же формулу $b_k^2 = b_{k-m} \cdot b_{k+m}$:

$b_k^2 = 1.2 \cdot 19.2 = 23.04$.

Извлекаем квадратный корень:

$b_k = \pm \sqrt{23.04} = \pm 4.8$.

Ответ: $b_k = \pm 4.8$.