Номер 15.17, страница 138, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.17. С какого номера члены геометрической прогрессии:

1) 32, 16, 8, ... меньше 0,01;

2) $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \ldots$ больше 50?

1) Дана геометрическая прогрессия $32, 16, 8, \dots$

Для нахождения номера члена прогрессии, с которого все последующие члены будут удовлетворять заданному условию, нам нужно определить параметры этой прогрессии и составить неравенство.

Первый член прогрессии $b_1 = 32$.

Знаменатель прогрессии $q$ найдем, разделив второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставив наши значения, получим: $b_n = 32 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$.

По условию задачи, нам нужно найти номер $n$, с которого члены прогрессии будут меньше $0,01$. Составим и решим неравенство:

$b_n < 0,01$

$32 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} < \frac{1}{100}$

Разделим обе части неравенства на 32:

$(\frac{1}{2})^{n-1} < \frac{1}{100 \cdot 32}$

$(\frac{1}{2})^{n-1} < \frac{1}{3200}$

Так как основание степени $(\frac{1}{2})$ меньше 1, при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный. Удобнее представить неравенство в виде $2^{-(n-1)} < \frac{1}{3200}$, откуда следует $2^{n-1} > 3200$.

Теперь нам нужно найти наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству. Найдем ближайшие к 3200 степени двойки:

$2^{10} = 1024$

$2^{11} = 2048$

$2^{12} = 4096$

Мы видим, что $2048 < 3200$, а $4096 > 3200$. Значит, наименьшее значение показателя степени $n-1$, при котором выполняется неравенство, равно 12.

$n - 1 = 12$

$n = 13$

Таким образом, начиная с 13-го члена, члены прогрессии будут меньше 0,01.

Ответ: с 13-го номера.

2) Дана геометрическая прогрессия $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \dots$

Определим параметры этой прогрессии.

Первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{3}$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2/3}{1/3} = 2$.

Формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = \frac{1}{3} \cdot 2^{n-1}$.

По условию, нам нужно найти номер $n$, с которого члены прогрессии будут больше $50$. Составим и решим неравенство:

$b_n > 50$

$\frac{1}{3} \cdot 2^{n-1} > 50$

Умножим обе части неравенства на 3:

$2^{n-1} > 150$

Теперь нам нужно найти наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее этому неравенству. Найдем ближайшие к 150 степени двойки:

$2^7 = 128$

$2^8 = 256$

Мы видим, что $128 < 150$, а $256 > 150$. Значит, наименьшее значение показателя степени $n-1$, при котором выполняется неравенство, равно 8.

$n - 1 = 8$

$n = 9$

Таким образом, начиная с 9-го члена, члены прогрессии будут больше 50.

Ответ: с 9-го номера.