Номер 15.19, страница 138, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.19. Найдите значения $x$, при которых будут тремя последовательными членами геометрической прогрессии выражения, взятые в указанном порядке:

1) $x, \sqrt{x}, x - 5;$

2) $x, \sqrt{x - 8}, \frac{x}{36}.$

1) Для того чтобы три выражения $b_1 = x$, $b_2 = \sqrt{x}$ и $b_3 = x-5$ были тремя последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться свойство: квадрат среднего члена равен произведению двух крайних членов. То есть, $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Запишем это свойство в виде уравнения:

$(\sqrt{x})^2 = x(x-5)$

Прежде чем решать уравнение, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение $\sqrt{x}$ имеет смысл только при $x \ge 0$.

Теперь решим уравнение:

$x = x^2 - 5x$

$x^2 - 6x = 0$

$x(x-6) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Проверим оба корня.

1. При $x=0$ получаем последовательность: $0$, $\sqrt{0}$, $0-5$, то есть $0, 0, -5$. Данная последовательность не является геометрической прогрессией. В геометрической прогрессии, если какой-либо член равен нулю, то либо все члены равны нулю (если $b_1=0$), либо все члены, начиная со второго, равны нулю (если $b_1 \neq 0, q=0$). Последовательность $0, 0, -5$ не удовлетворяет этим условиям.

2. При $x=6$ получаем последовательность: $6$, $\sqrt{6}$, $6-5$, то есть $6, \sqrt{6}, 1$. Проверим, является ли она геометрической прогрессией. Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

Проверим, выполняется ли $b_3 = b_2 \cdot q$:

$\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{6}{6} = 1$. Это совпадает с $b_3$. Следовательно, при $x=6$ выражения образуют геометрическую прогрессию.

Таким образом, единственным подходящим значением является $x=6$.

Ответ: $6$.

2) Для выражений $b_1 = x$, $b_2 = \sqrt{x-8}$ и $b_3 = \frac{x}{36}$ используем то же свойство геометрической прогрессии: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Составим уравнение:

$(\sqrt{x-8})^2 = x \cdot \frac{x}{36}$

ОДЗ для этого уравнения определяется существованием квадратного корня: $x-8 \ge 0$, откуда $x \ge 8$.

Решим уравнение:

$x-8 = \frac{x^2}{36}$

Умножим обе части уравнения на 36, чтобы избавиться от знаменателя:

$36(x-8) = x^2$

$36x - 288 = x^2$

$x^2 - 36x + 288 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. $a=1, b=-36, c=288$.

$D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 288 = 1296 - 1152 = 144$

$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 - 12}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 + 12}{2} = \frac{48}{2} = 24$

Оба корня, $x=12$ и $x=24$, удовлетворяют условию ОДЗ ($x \ge 8$).

Проверим оба значения.

1. При $x=12$ получаем последовательность: $12$, $\sqrt{12-8}$, $\frac{12}{36}$, то есть $12, \sqrt{4}, \frac{1}{3}$, что равно $12, 2, \frac{1}{3}$. Знаменатель $q = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$. Третий член: $2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Верно.

2. При $x=24$ получаем последовательность: $24$, $\sqrt{24-8}$, $\frac{24}{36}$, то есть $24, \sqrt{16}, \frac{2}{3}$, что равно $24, 4, \frac{2}{3}$. Знаменатель $q = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$. Третий член: $4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Верно.

Оба значения $x$ являются решениями задачи.

Ответ: $12; 24$.