Номер 15.13, страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.13. Длины сторон прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию. Найдите ее знаменатель, если длина гипотенузы равна:

1) 2 м;

2) 6 м.

Пусть стороны прямоугольного треугольника $a, b, c$ образуют геометрическую прогрессию. Обозначим первый член прогрессии как $b_1$, а ее знаменатель как $q$. Так как длины сторон должны быть положительными, $b_1 > 0$ и $q > 0$. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной. Чтобы стороны были различны, $q \neq 1$.

Рассмотрим случай, когда знаменатель прогрессии $q > 1$. В этом случае члены прогрессии возрастают, и стороны треугольника в порядке возрастания можно записать как $b_1, b_1q, b_1q^2$. Тогда катеты равны $a = b_1$ и $b = b_1q$, а гипотенуза $c = b_1q^2$.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим выражения для сторон через $b_1$ и $q$:

$(b_1)^2 + (b_1q)^2 = (b_1q^2)^2$

Вынесем $b_1^2$ за скобки:

$b_1^2(1 + q^2) = b_1^2q^4$

Поскольку длина $b_1 > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $b_1^2$:

$1 + q^2 = q^4$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение относительно $q$:

$q^4 - q^2 - 1 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $x = q^2$. Так как мы предположили, что $q > 1$, то $x > 1$. Уравнение принимает вид:

$x^2 - x - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней:

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Мы получили два возможных значения для $x$:

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Поскольку $x = q^2$, значение $x$ должно быть положительным. Корень $x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < 0$, поэтому он не подходит. Остается единственный возможный корень:

$x = q^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Это значение больше единицы, что соответствует нашему предположению $q > 1$. Теперь найдем $q$, взяв положительный квадратный корень:

$q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$

Заметим, что если бы мы рассмотрели случай $0 < q < 1$, то стороны были бы $b_1q^2, b_1q, b_1$, где гипотенуза равна $b_1$. Это привело бы к знаменателю $q = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$, что является обратной величиной к найденной. В задачах такого типа традиционно ищут знаменатель, который больше 1.

Важно, что значение знаменателя $q$ является постоянной величиной, которая зависит только от того, что стороны прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию. Оно не зависит от конкретных длин сторон, то есть от масштаба треугольника. Таким образом, длина гипотенузы, данная в условии (2 м или 6 м), не влияет на искомое значение знаменателя.

1) Для гипотенузы, равной 2 м, знаменатель прогрессии будет таким же, как и для любого другого подобного треугольника.
Ответ: $q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$

2) Для гипотенузы, равной 6 м, знаменатель прогрессии также не изменится.
Ответ: $q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$