Номер 15.16, страница 138, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.16. Встретится ли среди членов геометрической прогрессии $2, 6, 18, \dots$ число:

1) 54;

2) 72;

3) 486;

4) 576?

При положительном ответе найдите номер члена прогрессии.

Дана геометрическая прогрессия $b_n$ с членами 2, 6, 18, ... . Сначала определим ее параметры. Первый член $b_1 = 2$. Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению последующего члена к предыдущему: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{2} = 3$. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Для данной прогрессии формула имеет вид: $b_n = 2 \cdot 3^{n-1}$. Чтобы проверить, является ли число членом прогрессии, нужно подставить его в формулу вместо $b_n$ и найти, будет ли номер члена $n$ натуральным числом.

1) 54; Проверим, является ли число 54 членом прогрессии. Пусть $b_n = 54$. Тогда, согласно формуле, $54 = 2 \cdot 3^{n-1}$. Разделив обе части на 2, получим $27 = 3^{n-1}$. Так как $27 = 3^3$, то можем записать $3^{n-1} = 3^3$. Отсюда следует, что показатели степени равны: $n-1 = 3$, и $n = 4$. Поскольку $n=4$ — натуральное число, число 54 является членом прогрессии.
Ответ: Да, встретится. Номер члена прогрессии: 4.

2) 72; Проверим число 72. Пусть $b_n = 72$. Тогда $72 = 2 \cdot 3^{n-1}$. Разделим обе части на 2: $36 = 3^{n-1}$. Число 36 не является целой степенью числа 3, так как $3^3 = 27$, а $3^4 = 81$. Следовательно, не существует натурального числа $n$, удовлетворяющего этому уравнению.
Ответ: Нет, не встретится.

3) 486; Проверим число 486. Пусть $b_n = 486$. Тогда $486 = 2 \cdot 3^{n-1}$. Разделим обе части на 2: $243 = 3^{n-1}$. Так как $243$ это $3^5$, то получаем $3^{n-1} = 3^5$. Отсюда $n-1 = 5$ и $n = 6$. Поскольку $n=6$ — натуральное число, число 486 является членом прогрессии.
Ответ: Да, встретится. Номер члена прогрессии: 6.

4) 576? Проверим число 576. Пусть $b_n = 576$. Тогда $576 = 2 \cdot 3^{n-1}$. Разделим обе части на 2: $288 = 3^{n-1}$. Число 288 не является целой степенью числа 3, так как $3^5 = 243$, а $3^6 = 729$. Следовательно, не существует натурального числа $n$, удовлетворяющего этому уравнению.
Ответ: Нет, не встретится.